新课标（宁夏、吉林、黑龙江）2013届高三名校理科最新试题精选：(6)

?当a?1时,函数f(x)在(0,??)单调递增 ···············5分 2e11'若0?a?g(x)?2ax?lnx,(x?0),g(x)?2a?2e,x

g'(x)?0,x??x?111x?(0,),g/(x)?0,x?(,??),g/(x)?02a,2a2a

1时取得极小值即最小值 2a111而当0?a?时 g()?1?ln?0,

2e2a2af/(x)?0必有根,f(x)必有极值,在定义域上不单调··············8分

?a?1················9分 2e1?lnx(Ⅲ)由(I)知g(x)?1?在(0,1)上单调递减

x∴

11?lnx1?lny?x?y?1时,g(x)?g(y)即 ················ ?exy1?x?y?1时,?1?lnx?0,?1?lnx?0 ey1?lny? ··············· x1?lnx而

?x2?lnx?1lnxlnx32.解:(1)f(x)?g(x),?a?x? (x?0),设?(x)?x?,??(x)? 2xxx当x?(0,1)时,??(x)?0,当x?(1,??)时,??(x)?0

??(x)??(1)?1,?a????,1?

2x2?ax?1(2)h(x)?x?ax?lnx ?h?(x)? (x?0)

x2解法(一)?x1x2?11,?x1?(0,)?x2?(1,??),且axi?2xi2?1 (i?1,2)--10? 222?ax2?lnx2) ?h(x1)?h(x2)?(x12?ax1?lnx1)?(x222?(?x12?1?lnx1)?(?x2?1?lnx2)?x2?x12?lnx1122 (x2?1) ?x2?2?ln2x2x24x2(2x2?1)212?0 设?(x)?x??ln2x (x?1), ??(x)?322x4x2第26页，共29页

??(x)??(1)?33?ln2 即h(x1)?h(x2)??ln2 4411解法(二)?x1x2?,?x1?(0,)?x2?(1,??),且axi?2xi2?1 (i?1,2)

22?a?2x2?1?3 由h(x)?x2?ax?lnx的极值点可得 x21a33h(x1)?h(x2)?h()?h(1)???ln2??ln2

2244a2?22ax(x?)aa2?2a12112a?2x?a?(Ⅲ)r?(x)?,????? 1?ax1?ax2a2a222所以r(x)在?,???上为增函数,?r(x0)max?r(1)?1?a?ln?1?2??1?a,所以,得 21?a1?a?k(1?a2),设?(a)?1?a?ln?k(a2?1) (a?(1,2)) 22a(2ka?(1?2k)) ?(1)?1,由?(a)?0在a?(1,2)恒成立,???(x)?1?a?a① 若k?0,则???(x)?所以?(a)在a?(1,2)递减,此时?(a)??(1)?0不符合;

1?a2ka1②k?0时,???(x)?(a?(?1)),?(a)在a?(1,2)递减,此时?(a)??(1)?0不符合;

1?a2k1?a?ln③k?0时,???(x)?2ka11?1?(a?(?1)),若?1?1,则?(a)在区间(1,min?2,?1?)上递减,1?a2k2k?2k?此时?(a)??(1)?0不符合;

?k?01?综合得?1?k?

4?1?1?2k?即实数k的取值范围为??1?,??? ?4?a2a1x2?2a33.解:(Ⅰ)h(x)?2?lnx,h?, (x)??3??xxxx3①a?0,h?(x)?0,函数h(x)在(0,??)上单调递增

(x)?0,x?②a?0,h?h?(x)?0,0?x?2a,函数h(x)的单调递增区间为(2a,??)

2a,函数h(x)的单调递减区间为(0,2a)

(Ⅱ)存在x1,x2?[0,2],使得g(x1)?g(x2)?M成立

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等价于:[g(x1)?g(x2)]max?M,

考察g(x)?x3?x2?3,g'(x)?3x2?2x?3x(x?2) 3,

x 0 (0,2)23 (233,2]2

g'(x)0 ? 0 ? 极(最)小值 g(x)?3 递递减 ?85 1 27增 由

知:g(x)285min?g(3)??27,g(x)max?g(2)?1,

[g(x)?g(x11212)]max?g(x)max?g(x)min?27, 所以满足条件的最大整数M?4;

(Ⅲ)当x?[1,2]时,f(x)?a2x?xlnx?1恒成立 等价于a?x?x2lnx恒成立, 记h(x)?x?x2lnx,所以a?hmax(x)

h'(x)?1?2xlnx?x, h'(1)?0.

记h'(x)?(1?x)?2lnx,x?[12,1),1?x?0,xlnx?0,h'(x)?0即函数h(x)?x?x2lnx在区间[12,1)上递增,

记h'(x)?(1?x)?2lnx,x?(1,2],1?x?0,xlnx?0,h'(x)?0 即函数h(x)?x?x2lnx在区间(1,2]上递减,

x?1,h(x)取到极大值也是最大值h(1)?1

所以a?1

另解m(x)?1?2xlnx?x,m'(x)??3?2lnx, 由于x?[12,2],m'(x)??3?2lnx?0,

所以m(x)?h'(x)?1?2xlnx?x在[12,2]上递减, 当x?[12,1)时,h'(x)?0,x?(1,2]时,h'(x)?0,

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上表可

即函数h(x)?x?x2lnx在区间[,1)上递增,

在区间(1,2]上递减, 所以h(x)max?h(1)?1,所以a?1

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