江苏省宿迁市、淮安市2015届高三上学期第一次摸底考试数学试题(3)

?2?1?从而a?2,b??1,c?0,d?1,所以A??． ……………………………10分 ??01?C．（选修4-4：坐标系与参数方程）

?x?cos?,?x?cos?,由?得?两式平方后相加得x2?(y?1)2?1， …………4分 ?y?1?sin?,?y?1?sin?,因为曲线C是以(0,1)为圆心，半径等于1的圆．得??2sin?．

即曲线C的极坐标方程是??2sin?． …………………………10分 D．（选修4－5：不等式选讲）

因为ax?1?ax?a≥a?1, ……………………………5分 所以原不等式解集为R等价于a?1≥1. 所以a≥2或a≤0.

所以实数a的取值范围为???,0???2,???． ………………………10分 22．建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz．

（1）因为AB=AC=1，AA1?3，??1， 3所以各点的坐标为A(0,0,0),E(1,0,1)，A1(0,0,3)，F(0,1,2)． ?????????AE?(1,0,1)，A1F?(0,1,?1)． …………2分

??????????????????因为AE?A1F?2,AE?A1F??1，

????????????????????????AE?A1F?11所以cosAE,A1F??????．所以向量AE和A1F所成的角为120o， ???????22?2AEA1F所以异面直线AE与A1F所成角为60?． ……………4分 ????????（2）因为E(1,0,3?)，F(0,1,2)，所以AE?(1,0,3?),AF?(0,1,2)． z 设平面AEF的法向量为n?(x,y,z)，

????????A1则n?AE?0，且n?AF?0． C1即x?3?z?0，且y?2z?0．令z?1，则x??3?,y??2． B1 F 所以n?(?3?,?2,1)是平面AEF的一个法向量． ………6分 ???????????n?AA131又AA1?(0,0,3)，则cosn,AA1?????， ??22nAA139??59??5E 229A C y 又因为直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为， 29B 12291x ?所以，解得，??． ………………10分 22929??511?aan?11123．（1）因为2??n?2? ，a2?4

an?11?1annn?1?11?122111当n?1时，由2??2????2?，即有2????2?，

4a14a1a2a1?a1a2?

11

28?a1?．因为a1为正整数，故a1?1． ………………………………2分 37?11?11当n?2时，由2??6????2?，

a34?4a3?解得

解得8?a3?10，所以a3?9． …………………………………………………4分 （2）由a1?1，a2?4，a3?9，猜想：an?n2………………………………5分 下面用数学归纳法证明．

1o当n?1，2，3时，由（1）知an?n2均成立．……………………………6分 2o假设n?k?k≥3?成立，则ak?k2， 由条件得2?k?k2?k?1?k3?k?1?所以2， ………………………………………8分 ?ak?1?k?k?1k?1k?1122?ak?1??k?1??所以?k?1??2 …………………………9分

k?k?1k?1k?11?1，0??1， 因为k≥3，0?2k?k?1k?12又ak?1?N?，所以ak?1??k?1?．

即n?k?1时，an?n2也成立．

由1o，2o知，对任意n?N，an?n2． ……………………………………10分

??111?1， ?k?k?1??2??2??2ak?1ak?1?k?k 12

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