江苏省宿迁市、淮安市2015届高三上学期第一次摸底考试数学试题(2)

17．(1)由题意知，?AC?x?1?x， …………………………………2分

CD?2cosx， …………………………………5分 因为C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD//AB，

所以0?x?? 2???? …………………………………………7分 2??(2)记f?x??x?2cosx,则f?(x)?1?2sinx， ………………………………9分

所以y?x?2cosx ，x??0,令f?(x)?0，得x?列表

x

(0，

?， ………………………………………………11分 6??) 66(

??，) 62f?(x) ＋

f (x)

所以函数f?x?在x?即f()?递增

0 － 极大值 递减

π处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………13分 6??3， 6?答：观光路线总长的最大值为?3千米． ……………………………14分

618．（1）因为F?x??f(x)?g(x)?exx2?ax?1，

所以F??x??ex??x??a?1????x?1?， ……………………2分 令F??x??0，因为a?0，得x??1或x???a?1?， ……………………5分 所以F?x?的单调增区间为???,?a?1?和??1,???； ……………………6分 （2）因为对任意x1,x2??0,2?且x1?x2，均有f(x1)?f(x2)?g(x1)?g(x2)成立，

不妨设x1?x2，根据f(x)?ex在?0,2?上单调递增，

所以有f(x1)?f(x2)?g(x1)?g(x2)对x1?x2恒成立，……………………8分 所以f(x2)?f(x1)?g(x1)?g(x2)?f(x1)?f(x2)对x1,x2??0,2?，x1?x2恒成立，

?6???f(x1)?g(x1)?f(x2)?g(x2)即?对x1,x2??0,2?，x1?x2恒成立，

f(x)?g(x)?f(x)?g(x)122?1所以f(x)?g(x)和f(x)?g(x)在?0,2?都是单调递增函数，………………11分 当f?(x)?g?(x)≥0在?0,2?上恒成立，

6

得ex??2x?a?≥0在?0,2?恒成立，得a≥?ex?2x在?0,2?恒成立，

因为?ex?2x在?0,2?上单调减函数，所以?ex?2x在?0,2?上取得最大值?1， 解得a≥?1． ………………………………13分 当f?(x)?g?(x)≥0在?0,2?上恒成立，

得ex??2x?a?≥0在?0,2?上恒成立，即a≤ex?2x在?0,2?上恒成立， 因为ex?2x在?0,ln2?上递减，在?ln2,2?上单调递增， 所以ex?2x在?0,2?上取得最小值2?2ln2，

所以a≤2?2ln2， ……………………………15分 所以实数a的取值范围为??1,2?2ln2?． ………………………16分

19．（1）由圆R的方程知，圆R的半径的半径r?22，

因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，

所以OR?2r?4，即x02?y02?16，①………………………………………1分

??????x02y02??1，②……………………………………2分 又点R在椭圆C上，所以

2412??x0??22,联立①②，解得? ……………………………………………………3分

??y0??22.所以所求圆R的方程为x?22????y?22?22?8． ………………………4分

（2）因为直线OP：y?k1x，OQ：y?k2x，与圆R相切，

所以|k1x0?y0|1?k1222?8)k12?2x0y0k1?y0?8?0………………6分 ?22,化简得(x0222同理(x0?8)k2?2x0y0k2?y0?8?0，……………………………………………7分 22所以k1,k2是方程(x0?8)k2?2x0y0k?y0?8?0的两个不相等的实数根，

2?8?b?b2?4ac?b?b2?4accy0…………………………8分 k1?k2????22a2aax0?8 7

22x0y0122?12?x0??1，即y0因为点R(x0,y0)在椭圆C上，所以，

2241212x012??，即2k1k2?1?0． ………………………………10分 所以k1k2?2x0?824?（3）OP2?OQ2是定值，定值为36，……………………………………………11分 理由如下：

法一：(i)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),

24?2x??y?k1x,?11?2k2,??1联立?x2y2解得?………………………………………12分 2?1,???y2?24k1.?24121?1?2k12?24(1?k12)24(1?k22)2222所以x1?y1?，同理，得x2?y2?，…………13分

1?2k121?2k221由k1k2??，

2所以OP2?OQ2?x12?y12?x22?y22

24(1?k12)24(1?k22) ??1?2k121?2k221224(1?(?))24(1?k12)2k1??

121?2k121?2(?)2k136?72k12 ?21?2k1?36 ………………………………………………………15分

(ii)当直线OP,OQ落在坐标轴上时,显然有OP2?OQ2?36，

综上：OP2?OQ2?36． ……………………………………………………16分 法二：(i)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 因为2k1k2?1?0，所以

12y1y222?x12x2?1?0,即y12y2， ……………12分 4x1x2?x12y12??1??2412因为P(x1,y1),Q(x2,y2)在椭圆C上，所以?2， 2?x2?y2?1??2412

8

12?2y?12?x11??2即?， ……………………………………………13分 ?y2?12?1x222??2所以(12?12121222x1)(12?x2)?x12x2，整理得x1?x2?24， 22422所以y1?y2??12???12??12?x1???12?x2??12， 2??2?所以OP2?OQ2?36． ……………………………………………………15分 (ii)当直线OP,OQ落在坐标轴上时,显然有OP2?OQ2?36，

综上：OP2?OQ2?36． ………………………………………………16分 20．（1）设数列?an?的首项为a1，公差为d，

4?3?4a?d?101??2由S4?10，S13?91，得?， ……………………2分

?13a?13?12d?911??2?a1?1解得?，

d?1?n(n?1)n2?nd?所以Sn?na1?……………………………………………4分 22（2）①因为M1?S1?1，

t3?t3?1??3， 若t2?2,M2?S2?S1?3?1?2，M3?St3?S2?2因为M22?M1?M3，

t3?t3?1??3?4，t3?t3?1??14，此方程无整数解； ………………6分 2t3?t3?1?M?S?S??6， 若t2?3,M2?S3?S1?6?1?5，3t332因为M22?M1?M3，

所以

t3?t3?1??6?25，t3?t3?1??62，此方程无整数解；………………8分 2t3?t3?1??10， 若t2?4,M2?S4?S1?10?1?9，M3?St3?S4?22因为M2?M1?M3，

所以

t3?t3?1??10?81，t3?t3?1??182，解得t3?13， 2所以t2?4，t3?13满足题意…………………………………………………10分

所以

9

②由①知t1?1，t2?1?3，t3?1?3?32，则M1?1，M2?32，M3?92，

3n?1一般的取tn?1?3?3???3?， ………………………13分

23n?1?3n?1?3n?1?1?3n?1?1??1???1??2?2?2?2?此时Stn?，Stn?1?，

223n?1?3n?1?3n?1?1?3n?1?1??1???1??2?2?2?2?n?12则Mn＝Stn－Stn?1＝???3?，

22所以Mn为一整数平方．

2n?1因此存在数列?tn?，使得数列?Mn?中的各数均为一个整数的平方．……16分

数学Ⅱ部分

21．【选做题】

A．(选修4—1：几何证明选讲)

因为BE切⊙O于点B，所以?CBE??BAC?60?，

因为BE?2，BC?4，由余弦定理得EC?23．………4分 又因为BE2?EC?ED，所以ED?所以CD?EC?ED?23?B．（选修4—2：矩阵与变换）

23，…………………8分 3AOC2343?． ………………10分 B 33DE?ab?设矩阵A???，这里a,b,c,d?R， cd???1??a因为??是矩阵A的属于?1?1的特征向量，则有??1??c （第21—A题图）

b??1??1??1??1??1? ①， ……4分 d???????1??ab??1??1?又因为??是矩阵A的属于?2?2的特征向量，则有??2???0??0? ② …6分 0cd?????????a?b?1,?c?d?1,?根据①②，则有? …………………………………………………8分

a?2,???c?0, 10

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