自动控制原理电子教案(6)

例2-14 图2-5所示的RC电路，当开关K突然接通后，试求出电容电压uc(t)的变化规律。

解：设输入量为ur (t)，输出量为uc (t)。写出电路运动方程

RCduc(t)dt?uc(t)?ur(t)电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换

Uc(s)?RCsUc(s)?RCuc(0)?Uc(s)?Ur(s)1RCs?1RCRCs?1Ur(s)?uc(0)当输入为阶跃电压ur (t) = u0 1(t)时， 得

uc(t)?u0(1?eRC?RC?1Uc(s)?u0????uc?0?RCs?1?sRCs?1??1RCt)?uc?0?e?1RCt 式中右端第一项是由输入电压ur (t)决定的分量，是当电容初始状态uc(0) =0 时的响应，故称零状态响应；

第二项是由电容初始电压uc(0)决定的分量，是当输入电压ur (t)=0时的响应，故称零输入响应。

根据线性系统的叠加原理，将初始电压uc(0)视为一个输入作用，则可在复数域内分别研究RC电路的零状态响应及零输入响应。若令uc(0) = 0，则有

Uc(s)?1RCs?1Ur(s)

当输入电压ur(t)给定时，其拉氏变换Ur(s)亦是确定的。于是，输出电压便完全由1/(RCs+1)所确定。这时，上式也可写成

Uc(s)Ur(s)?1RCs?1上式表明，输出电压Uc(s)与输入电压Ur(s)之比，是s的一个有理分式函数，它只与电路的结构形式及其参数有关，故可以作为在复数域内描述RC电路输入----输出关系的数学模型，称为传递函数，记作G(s)。

G(s)?Uc(s)Ur(s)?1RCs?1Uc(s) = G(s) Ur(s)

2.4.2 传递函数的定义

定义：在线性（或线性化）定常系统中，初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。 设线性定常系统的微分方程式为

式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。

在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得 (a0sn + a1sn?1 +? + an?1s + an )C(s)=

(b0sm + b1sm?1 +? + bm?1s + bm )R(s)

?b0 a0dc(t)dtnn?a1dn?1c(t)dtmn?1???an?1m?1dc(t)dt?anc(t)dr(t)dtm?b1dr(t)dtm?1???bm?1dr(t)dt?bmr(t)

求出传递函数为

G(s)?C(s)R(s)?b0smn?b1sm?1n?1???bm?1s?bm???an?1s?ana0s?a1s传递函数的实际意义

零初始条件有两方面的含义：一是输入在t =0以后才作用于系统，即输入及其各阶导数在t =0的值为零；二是系统在输入作用前是相对静止的，即输出量及其各阶导数在t =0的值为零。

传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。（零状态解）

对于非零初始条件的响应，可用叠加原理进行处理。

§ 2-5 典型环节及其传递函数 典型环节有6种，分述如下： 1.比例环节

运动方程式 c(t) = K? r(t) 传递函数 G(s) = K 单位阶跃响应 C(s) = G(s) R(s) = K/s c(t) = K?1(t)

可见，当输入量r(t)=1(t)时，输出量c(t)成比例变化。 2.惯性环节 微分方程式： T

1G(s)?传递函数： Ts?1dc(t)dt?c(t)?r(t)式中，T是惯性环节时间常数。惯性环节的传递函数有一个负实极点 p = ?1/T，无零点。 单位阶跃响应:

C(s)?1Ts?1R(s)?1?1?1s?1s?1/T

Ts?1s

阶跃响应曲线是按指数上升的曲线。 3.积分环节

微分方程式： c(t)?

传递函数：

Ts单位阶跃响应： C(s)?1?1Tssc(t)?1Ttc(t)?1?e?tT t?01T?1t0r(?)d?G(s)?

当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间直线增长，增长速度由1/T决定。当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能。 4.微分环节

微分方程式为： c(t)?T传递函数为： G(s)=Ts 单位阶跃响应： C(s)?Ts?1?T c(t) = T?(t)

由于阶跃信号在时刻t = 0有一跃变， 其他时刻均不变化，所以微分环节对

阶跃输入的响应只在t = 0时刻产生一个响应脉冲。

sdr(t)dt

5.振荡环节

微分方程式为： 传递函数为：

或

式中，T > 0，0 < ? <1，?n = 1/T，T 称为振荡环节的时间常数， ? 为阻尼比，

G(s)?T2dc(t)dt22?2?T1dc(t)dt?c(t)?r(t)G(s)?Ts?2?Ts?122?n222s?2??ns??n?n为无阻尼振荡频率。振荡环节有一对位于s左半平面的共轭极点：

单位阶跃响应： c(t)?1?11??2s1,2????n?j?n1??2????n?j?de???ntsin(?dt??)式中，β=cos－1? 。响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振荡环节。

6.延迟环节

微分方程式为： c(t) = r(t ? ?) 传递函数为： G(s) =e ??s 单位阶跃响应： C(s)?e??s?1c(t) = 1(t ?? )

s

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