高考大题第四讲 数列（自己整理的，很值得收藏）

考点一：所有数列都有an与Sn的关系：?Sn?Sn?1an???S?1?(n?2) (n?1)★已知数列?an?的前n项和Sn?2n2?3n?1，则数列?an?的通项公式 ★已知数列?an?的前n项和Sn?2n?1.则数列?an?的通项公式 考点二：等差数列的有关性质 （1）定义：an?1?an?d(常数) （2）通项公式：an?a1?(n?1)d＝am?(n?m)d

n(a1?an)n(n?1)?na1?d 222（3）前n项和公式：Sn? 函数特征：形如Sn=an?bn的常数项为0的二次式

★ 等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=

★ 若数列?an?的前n项和Sn?n2?10n(n?1，2，3，?)，则此数列的通项公式 ★★已知数列{an}是以?2为公差的等差数列，Sn是其前n项和，若S7是数列?Sn?中的唯

一最大项，则数列{an}的首项a1的取值范围是 （4）若m?n?p?q，那么am?an?ap?aq 特殊地，若m?n?2p，则am?an?2ap

★★设Sn是等差数列?an?的前n项和，已知a2?3，a6?11，则S7等于 ★★设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a5?5a3则

S9? . S5★★在等差数列{an}中，a3?a5?2a10?4，则此数列的前13项 的 和等于（ ） A．8 B．13 C．16 D．26 （5）等差中项：2A=a+b; 2an?an?1?an?1 ★★等差数列{an}前n项和为Sn，已知am?1+am?1?a2m=0，S2m?1=38,则m=____ ★★已知?an?为等差数列，a1?a3?a5?105,a2?a4?a6?99,，则a20等于 （6）

?an?等差数列,则Sk,S2k?Sk,S3k?S2k 仍成等差

（7）等差数列中，求前n项和最大(小)的方法：

首项为正数的递减数列，求Sn最大，令an?0，求出所有正数项 首项为负数的递增数列，求Sn最小，令an?0，求出所有负数项

★ ★已知?an?为等差数列，a1+a3+a5=105，a2?a4?a6=99，以Sn表示?an?的前n项和，

则使得Sn达到最大值的n是 考点三：等比数列的有关性质 （1）定义：an?1?q(常数) an★若数列{an}满足：a1?1,an?1?2an(n?N?)，则a5? ；前8项的和S8? . （2）通项公式：an?a1qn?1＝amqn?m

q?1?na1 （3）前n项和公式：S?? ?a1(1?qn)a1?anqnq?1?1?q ?1-q ?函数特征：形如Sn

?Aqn?A的关于n的指数式

★已知数列{an}的前n项和Sn?5n?t(t是实数），下列结论正确的是（ ）

A．t为任意实数，{an}均是等比数列 B．当且仅当t??1时，{an}是等比数列 C．当且仅当t?0时，{an}是等比数列 D．当且仅当t??5时，{an}是等比数列 （4）若m?n?p?q，则aman?apaq 特殊地，若2p2

?m?n，则aman?ap22

（5）等比中项：G = a b; an?an?1an?1 ★★公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S8?32,则S10等于 ( 6 )等比数列

?an? ,则Sk,S2k?Sk,S3k?S2k 仍成等比数列 （q≠－1或k为奇数）

★★★设等比数列{ an}的前n 项和为Sn ，若

S6S=3 ，则 9 = S3S6考点四：求数列通项公式的四种常见类型 （1）作差型

★★已知Sn为数列?an?的前n项和， Sn?3an?2(n?N?,n?2)，则?an?的通项公式 （2）叠乘叠加型

★★已知数列?an?中，a1?2,an?an?1?2n?1(n?2)，则数列?an?的通项公式 ★★★已知Sn为数列?an?的前n项和，a1?1，Sn?n2?an，则数列?an?的通项公式 （3）转换型（倒数转换或通过先求Sn再转换成an） ★★已知数列满足：a1?1，an?1?2an，写出数列的通项an? an?2（4）通过证明复合数列为等差等比数列，然后再转换 ★★★已知数列{an}的首项a1?22an，an?1?，n?1,2,3,…． 3an?1（Ⅰ）证明：数列{1?1}是等比数列；（Ⅱ）求通项an

an

考点五：求数列前n项和的四种常见类型 (1）分组求和

特征：等比和等差的复合

★数列通项an?2n?n，求前n项的和Sn

(2）倒序相加

特征：数列的首尾相加是定值，项数不能判定奇偶，不能单纯的首尾相加 ★★函数f(x)对任意的x?R都有f(x)?f(1?x)?（1）求f()和f()?f(1 2n?1)(n?N)的值 n12n?1)?f(1) （2）化简：S=f(0)?f()?f()?...?f(nnn

(3)裂项求和

特征：分式呈现，且分母可以因式分解 ★★bn?n，求数列{

121n1}的前n项和 bnbn?1

(4）错位相减

特征：等差数列乘（或除）等比数列 ★★★若数列?an?满足：a1?1，且an?1?an 1?an?1?（1）证明：数列??为等差数列，并求出数列?an?的通项公式；

?an?（2）设数列?bn?的前n项和记为Sn, 且Sn?2?bn，求数列??bn??的前n项和Tn． ?an?解：（1）由已知得an?1?an?1an?an

?

11??1 an?1an 则数列??1??为等差数列， 且公差为1，a1?1 ?an?1 n所以an?（2）Sn?2?bn ?b1?1

bn?Sn?Sn?1?2?bn?(2?bn?1)?bn?1?bn

?2bn?bn?1(n?2)

则数列?bn?是公比q?令Cn?11,b1?1的等比数列，所以bn?()n?1

22bn1?n()n?1， an2111Tn?1?2?()?3?()2???n()n?1………（1）

22211111Tn?()?2?()2?3?()3???n?()n…（2） 2222211121n?11n2?n（1）-（2）得：Tn?1??()???()?n()?2? n2222222?n Tn?4?n?1

2

高考真题体验

1.(2012 广东)设数列?an?的前n项和为Sn，数列?Sn?的前n项和为Tn，满足

Tn?2Sn?n2，n?N*．

（1）求a1的值；

（2）求数列?an?的通项公式。

【解析】（1）在Tn?2Sn?n2，n?N*中，令n?1?a1?2a1?1?a1?1 （2）Tn?2Sn?n2，Tn?1?2Sn?1?(n?1)2，相减得：Sn?1?2Sn?(2n?1) Sn?1?2Sn?(2n?1)，Sn?2?2Sn?1?(2n?3)，相减得：an?2?2an?1?2 a1?1?S2?2S1?3?a2?4，得an?1?2an?2 an?1?2an?2?an?1?2?2(an?2)

得：数列{an?2}是以a1?2?3为首项，公比为2的等比数列 an?2?3?2n?1?an?3?2n?1?2 2．（2011 广东）。。。难！

设b?0,数列?an?满足a1?b,an?（1） 求数列?an?的通项公式；

（2） 证明：对于一切正整数n,2an?bn?1?1.

2．（2009 广东）已知点(1,)是函数f(x)?ax(a?0,且a?1)的图像上一点。等比数列?an?的前n项和为f(n)?c。数列?bn?(bn?0)的首项为c，且前n项和sn满足

nban?1(n?2).

an?1?n?113sn?sn?1?sn?sn?1(n≥2)

（1）求数列?an?和?bn?的通项公式；

w.w.w.s.5.u.c.o.m

?1?1000 （2）若数列?的最小正整数n是多少？ ?的前n项和为Tn，问满足Tn＞

2009bb?nn?1?1?1?【解析】（1）Qf?1??a?,?f?x????3?3? a1?f?1??c?xw.w.w..s.5.u.c.o.m

12f2?c?f1?c?c ,a2???????, ????????93

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