2011年湖北省宜昌市中考数学试题（WORD解析版）(3)

考点：正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平面镶嵌（密铺）；几何概率。 专题：计算题。

分析：（1）过A作AD⊥BC于D，根据等边△ABC，得到BDBC，由勾股定理求出AD=

，

根据△ABC的面积是BC?AD代入即可求出答案；

（2）由图形得到由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，分别求出三个图形的面积，即可求出点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率． 解答：（1）解：过A作AD⊥BC于D， ∵三角形ABC是等边三角形， ∴BD=CD=BC=，

在△BDA中由勾股定理得：AD==，

∴△ABC的面积是BC?AD=×1×=，

答：这个镶嵌图案中一个正三角形的面积是．

（2）解：由图形可知：由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，正方形的面积是1×1=1， 连接OA、OB， ∵图形是正六边形，

∴△OAB是等边三角形，且边长是1，即等边三角形的面积是

，

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∴正六边形的面积是6×=，

∴点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率是

答：点O落在镶嵌图案中的正方形区域的概率约为0.35．

≈0.35，

点评：本题主要考查对正多边形与圆，等边三角形的性质和判定，几何概率，勾股定理，平面镶嵌等知识点的理解和掌握，能根据性质进行计算是解此题的关键．

21、（2011?宜昌）如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO=CO，BC∥EF． （1）证明：AB=AC；

（2）证明：点O是△ABC的外接圆的圆心；

（3）当AB=5，BC=6时，连接BE，若∠ABE=90°，求AE的长．

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心。 分析：（1）由BC∥EF，AD⊥EF，可证得AD⊥BC，又由D是△ABC的边BC的中点，即可得AD是线段BC的垂直平分线，则可证得AB=AC； （2）由AD是线段BC的垂直平分线，可证得OB=OC，又由AO=CO，则可得AO=BO=CO，则问题得证；

（3）首先求得AD的长，又由△ABE∽△ADB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的长．

解答：证明：（1）∵D是△ABC的边BC的中点， ∴BD=CD，

∵BC∥EF，AD⊥EF， ∴AD⊥BC， ∴AB=AC；

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（2）∵BD=CD，AD⊥BC， ∴BO=CO， ∵AO=CO， ∴AO=BO=CO，

∴点O是△ABC的外接圆的圆心；

（3）连接BE，

∵AB=5，BC=6，AD⊥BC，BD=CD， ∴BD=BC=3，

∴在Rt△ABD中，AD=4， ∵∠ABE=∠ADB=90°，∠BAE=∠DAB， ∴△ABE∽△ADB， ∴

，

即，

∴AE=．

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点评：此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内接圆的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合较强，但难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用．

22、（2011?宜昌）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长． （1）尹进2011年的月工资为多少？

（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？ 考点：一元二次方程的应用；解三元一次方程组。 专题：应用题。

分析：（1）设2008至2010年的年平均增长率为x，得到2000（1+x）2=2420，求出x，然后计算2420（1+x）得到尹进2011年的月工资．

（2）可设甲工具书单价为m元，第一次选购y本．设乙工具书单价为n元，第一次选购z本．根据等量关系：用242元购买了甲、乙两种工具书各一本；实际付款比2011年6月份的月工资少了242元；2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书．列出方程组求解即可． 解答：解：（1）设2008至2010年的年平均增长率为x，依题意列方程： 2000（1+x）2=2420，

解得：x1=10%，x2=﹣210%． ∵增产率不能是负数， ∴﹣210%要舍去．

尹进2011年的月工资为：2420（1+10%）=2662元．

故尹进2011年的月工资为2662元；

（2）设甲工具书单价为m元，第一次选购y本．设乙工具书单价为n元，第一次选购z本．则由题意，可列方程：

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由②+③，整理得，（m+n）（y+z）=2×2662﹣242， 把①代入得，242（y+z）=2×2662﹣242， ∴y+z=22﹣1=21．（9分） 21+2=23本．

答：尹进捐出的这两种工具书总共有23本．

点评：本题考查的是一元二次方程的应用，先列方程求出2008至2010年的增长率，然后利用这个增长率进行计算求出2011年的利用收入．同时考查了解三元一次方程组，注意找准等量关系，及整体思想的应用．

23、（2011?宜昌）如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC=1，BC=2． （1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．

考点：切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；作图—复杂作图。 专题：探究型。 分析：（1）作出∠B的角平分线BD，再过X作OX⊥AB，交BD于点O，则O点即为⊙O的圆心； （2）由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定，故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切；⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时；⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论．

解答：解：（1）如图所示： ①以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H； ②分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD； ③过X作OX⊥AB，交直线BD于点O，则点O即为⊙O的圆心．

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