黄冈中学2012届高三适应性考试理科数学试卷(2)

又∵ABCD是菱形 ∴ BD?AC

∴AC?平面PBD ∵DE?平面PBD ∴ AC?DE ????6分

（2）分别以OA,OB,OE方向为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设PD?t，则

t??A?1,0,0?,B0,3,0,C??1,0,0?,E?0,0,?,P0,?3,t

2???????????由（1）知：平面PBD的法向量为n1??1,0,0?，令平面PAB的法向量为n2??x,y,z?，

????????????23??n2?AB?0???x?3y?0则根据???得?∴n2??3,1, ????????t?????x?3y?tz?0?n2?AP?0??????1515因为二面角A-PB-D的余弦值为，则cos?n1,n2??，即

55315??t?23 ??????9分

5124?2t∴P0,?3,23

?????????设EC与平面PAB所成的角为?，∵EC??1,0,?3，n2????3,1,1则

????????2315 ??????12分 sin??cos?EC,n2???52?5

20. 解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为： L??x?a?3??12?x?'2?9?x?11? ????4分

（2）L?x???12?x??18?2a?3x?.

2a或x?12（舍） ????6分 392 （ⅰ）当3?a?时，6?a?9，此时L(x)在?9,11?上单调递减，

23 令L?x??0得x?6?' L?x?max?L?9??54?9a ????9分

922???a?（ⅱ）当?a?5时，9?6?a?11，此时L?x?max?L?6?a??4?3??

233?3???????11分

3∴ 当3?a?99时，每件售价为9元，分公司一年的利润L最大，当?a?5时，每件222售价为6?a元时，分公司一年的利润L最大，最大值为

3

9?54?9a,3?a??2? ????12分 Q?a???3?4?3?a?,9?a?5???3?2??

21.（1）依题意有：?x?1?2?y2?x?1 ????2分

当x?0时，y?0；当x?0时，y2??4x ????5分 ∴M点的轨迹方程为y2???0,x?0 ????6分

??4x,x?0（2）分析可知l只能与抛物线y2??4x相交.

设l的方程为x?my?3，代入y2??4x的y2?4my?12?0 ????7分 设A?x1,y1?B?x2,y2?则y1?y2??4m,y1y2??12,??16m2?48 ∴AB?1?m216m2?48 ????8分

2 AB的中点M?2m?3,?2m 由?PAB是等边三角形得：

??PM?AB且PM?3AB ?????9分 2令点P?3,n?则PM?6?mn1?m2 ?????10分

?6?mn3?1?m216m2?48?2?m?0?2∴?1?m，解得?

?n?0?n?2m??m??6?2m2所以存在点P?3,0?使得?PAB是等边三角形. ?????13分 22（1）解：由a1?234n11,an?1?得a2?,a3?,a4?,?，猜想：an?

345n?122?an

下面用数学归纳法证明猜想：an?ⅰ 当n?1时a1?nn?N*?成立. ?n?11，猜想成立； 2*ⅱ 假设n?kk?N时，猜想成立，即ak???k；那么当n?k?1时， k?111k?1；从而n?k?1时猜想成立。 ??k2?ak2?k?2k?1n综合ⅰ，ⅱ 知：猜想成立.即数列的通项公式为an?.

n?1ak?1?(2) 由于当x?0时，ln(1?x)?x； 所以令x?n1111(k?1,2,?,n)得ln(1?)?即ln?k?2??ln(k?1)?， k?1k?1k?1k?1n1n?2n1∴ ???ln?k?2??ln(k?1)????k?1，于是ln2??k?1，

k?1k?1k?1n?2n?2n?1?na?a??a?n?ln从而 n?ln即证：. ???1??a??12n??k22k?1?k?1k?1?(3) 由柯西不等式得：

?a12an2?a222??…?a?a?(a?a)???(a?a)?a???a???1????12?23n1?n?

an?a1??a1?a2a2?a3an2a12a22n所以要证???…??lnn?1

2a1?a2a2?a3an?a1n12n2?lnn?1??a1???an?，也就是需证：n?ln?n?1??????， 223n?1111?ln(n?1)； 即证：????23n?1即证

?x)?因为函数f(x)?ln(1x11x的导函数f'(x)?当x?0时??1?x1?x?1?x?2?1?x?2x1，取x??k?1,2,3,?,n?得 1?xkf'?x??0所以当x?0时ln(1?x)?nk?11111k?1n1ln??ln(n?1). ∴?ln，所以 ??????kk?123n?1kk?1k?1k?1

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