3第一章集合函数导数(3)（函数改）(3)

第一章 集合、函数与导数(3)

f(x)??x2,f(x)?cosx(??2?x??2),f(x)??|tanx|(??2?x??2)等等.

首先由①知f （x）为偶函数，由②知f （x）在定义域内图象上凸，然后在基本初等函数中去寻找符合这两点的模型函数. 备选：

1．设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时, f(x)的图象如图,则不等式f(x)<0的解是 . (－2,0)∪(2,5] y王新敞

Oy=f(x)25x2．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x+2)=f(x+1)－f(x)，如果

3f(1)?lgf,(2)?lg，则15f(2010)= -1 23.

x2111已知函数f(x)?,则f(1）?f(2)?f()?f(3）?f()?f(4）?f()???????????????1?x2234 答案???

4.已知f(2x)的定义域为[0,2]，则f(log2x)的定义域为 [2,16] 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

设f(x)?log1721?ax为奇函数，a为常数. x?12（1）求a的值；

（2）证明：f(x)在（1，＋∞）内单调递增；

x（3）若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f(x)?()?m恒成立，

12求实数m的取值范围．

11

第一章 集合、函数与导数(3)

解析:（1）∵f(x)为奇函数，∴f(?x)??f(x)，

∴log121?ax1?ax1?axx?1??log1???0

?x?1x?1?x?11?ax2 ?1?a2x2?1?x2?a??1 检验a?1（舍），∴a??1 （2）证明：任取x1?x2?1，∴x1?1?x2?1?0

∴0?222 ??0?1?x1?1x2?1x1?1x1?1x2?1x?1x?1 ??log11?log12x1?1x2?12x1?12x2?1 ?即f(x1)?f(x2)，∴f(x)在（1，＋∞）内单调递增.

x（3）对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f(x)?()?m恒成立

12x即f(x)?()?m恒成立

12x令g(x)?f(x)?()，只需g(x)min?m

12用定义可证g(x)在[3，4]上是增函数，∴g(x)min?g(3)??∴m??9 89时原式恒成立. 818．（本小题满分12分）

已知函数f?x??log2ax ?a?0,a???1??. 2?222（1）若f?x1x2?x2008??8,求fx1?fx2???fx2008的值；

??????（2）当x???1,0?时，g?x??f?x?1??0,求a的取值范围； 解析：（1）?f?x1x2?x2008??log2a?x1x2?x2008??8,

222f?x12??f?x2 ????f?x2008??log2ax12?log2ax22???log2ax200812＝log2a?xx?x2008?2?2log?2a12xx?x2008??16

（2）g?x??f?x?1??log2a； 设u?x?1,x???1,0?时，u??0,1?；

12

?x?1? 第一章 集合、函数与导数(3)

?当u??0,1?时，logu2a?0,?0?2a?1,?0?a?即所求a的取值范围为?0,?1； 2??1?2?；

19．（本小题满分12分）

为应对国际金融危机对企业带来的不得影响，2008年某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯利润1万元。据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工，每人每年可多创收0.01万元，但每年得需付给下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的

3，设该企业裁员x人后纯收益为y万元。 4（1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；

（2）当140?a?280时，问企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（注：在保证能

获得大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁） 解：（1）y??a?x??1?0.01x??0.4x??12?a140?x????x?a， 100100100??3aa∵a?x?a，∴x?，故x的取值范围0?x?且x?N。

4441??a1?a???x??70?（2）y???????70??a， ?100??2??100?2?22当140?a?280时，0?∴当a为偶数时，x?当a为奇数时，x?aa?70?， 24a?70，y取最大值。 2a?1a?1?70或x??70，y取最大值。 22a?1?70 2因尽可能少裁员，∴x?a综上：当a为偶数时，应裁员?70，

2当a为奇数时，应裁员20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x?ax?3x．

（1）若f(x)在x?[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）若x?3是f(x)的极值点，求f(x)在x?[1，a]上的最小值和最大值．

32a?1?70 2 13

第一章 集合、函数与导数(3)

解：(1) f'(x)?3x2?2ax?3，要f(x)在x?[1，＋∞)上是增函数，则有

3x2?2ax?3?0在x?[1，＋∞)内恒成立， 3x3?在x?[1，＋∞)内恒成立 22x3x3??3（当且仅当x=1时取等号）又，所以a?3 22x即a?（2）由题意知f'(x)?3x2?2ax?3?0的一个根为x?3，可得a?5， 所以f'(x)?3x2?10x?3?0的根为x?3或 x?11)?1?，f(3)??9，(舍去)，又f(3f(5)?15，∴ f（x）在x?[1，5]上的最小值是f(3)??9，最大值是f(5)?15．

21．（本小题满分12分）

e?x(ax2?a?1)(e为自然对数的底数）. 设a?R，函数f(x)?2 （１）判断f(x)的单调性； （２）若f(x)?1在x?[1,2]上恒成立，求a的取值范围． e21?x1?x2解（１）由已知f?(x)??e(ax?a?1)?e?(2ax)

221?e?x(?ax2?2ax?a?1),…………………………………………2分 2令g(x)??ax?2ax?a?1.

①当a?0时,g(x)??1?0,?f?(x)?0,?f(x)在R上为减函数. ②当a?0地,g(x)?0的判别??4a?4(a?a)??4a?0,

222?g(x)?0,即f?(x)?0?f(x)在R上为减函数.…………………………4分

2③当a?0时，由?ax?2ax?a?1?0,

得x?1?1?a或x?1?1?a,

由?ax?2ax?a?1?0, 得1?21?a?x?1?1?a,

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第一章 集合、函数与导数(3)

?f(x)在(??,a??aa??a),(,??)上为增函数； aaf(x)在(a??aa??a,)上为减函数.…………………………6分 aa （２）①当a?0时,f(x)在[1,2]上为减函数.

5a?15a?111.由?得a?.……………………10分 22252e2ee5a?11?②当a?0时,f(2)? 222e2e1?f(x)?2在[1，2]上不恒成立，

e1∴a的取值范围是(,??).………………………………………………12分

5?f(x)min?f(2)?22.(本题满分14分)

已知函数f(x)?x2?bsinx?2(b?R),F(x)?f(x)?2， 且对于任意实数x，恒有F(x?5)?F(5?x)． （1）求函数f(x)的解析式；

（2）已知函数g(x)?f(x)?2(x?1)?alnx在区间(0,1)上单调，求实数a的取值范围； （3）函数h(x)?ln(1?x)?21f(x)?k有几个零点？ 2解：（1）由题设得F(x)?x2?bsinx，

?F(x?5)?F(5?x)，则?F(?x)?F(x)， 所以x2?bsinx?x2?bsinx

所以bsinx?0对于任意实数x恒成立?b?0.故f(x)?x?2 （2）由g(x)?f(x)?2(x?1)?alnx?x?2x?alnx，求导数得

22a(x?0)，g(x)在(0,1)上恒单调，只需g'(x)?0或g'(x)?0在(0,1)上x222恒成立，即2x?2x?a?0或2x?2x?a?0恒成立，所以a??(2x?2x)或

?4?u(x)?0，可知： a??(2x2?2x)在(0,1)上恒成立,记u(x)??(2x2?2x),0?x?1，g'(x)?2x?2??a?0或a??4（3）令y?ln(1?x2)? 令y?0，则x??1,0,1，列表如下.

'12x(x?1)x(x?1)f(x)，则y'??x??. 21?x21?x20 0 极小值1 x y' y (??,?1) + 递增 ?1 0 极大值(?1,0) — 递减 (0,1) + 递增 1 0 极大值(1,??) — 递减 15

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