第一章 集合、函数与导数(3)
第十二节 定积分 知识结构
知识结构 知识体系 内容体系 定积分 1.设函数f(x)定义在区间?a,b?上，用分点 x0?a?x1?x2?????xn?1?xn?b 把区间?a,b?分为n个小区间，其长度依次为定积分的概念微积分基本定理?xi?xi?1?xi,i?0,1,2,...,n?1.记?为这些小区间长度的最大者，当?趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每一个小区间内任取一点?i，作和式In??f????x。当?→0iii?0n?1 微积分基本定理的含义 微积分基本定理的应用 时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)曲边梯形面积变力做功 在区间?a,b???0上的定积分，记n?1i?0?baf(x)dx，即?baf(x)dx=lim?f??i??xi其中f(x)叫被积函数，a叫_积分考试说明 定积分与微积分基本定理 ① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. ② 了解微积分基本定理的含义.
下限，b叫积分上限_f(x)dx叫做被积式，此时称f(x)在区间?a,b?上可积。 '2.微积分基本定理：如果F?x??f?x?且f(x)在[a,b]上可积，则?baf(x)dx=F?b??F?a?其中F(x)叫做f(x)的一个原函数。F(x)?c也是f(x)的一个原函数。 一般地，原函数在[a,b]上的改变量F(b)?F(a)简记作F?x?ba因此，微积分基本定理可以写成形式： ??f(x)dx=F?x?ba=F(b)?F(a) ab1
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复习指导
定积分是新增内容，与实际问题（面积、路程、做功）结合密切，与大学内容结合密切,从全国来看，实施新课标的地区如海南，宁夏 ，山东 ，在高考中涉及了这方面的内容，定位考基础，考常规，总体上持审慎态度，江苏省对定积分的考查源于课标但又高于课标，在压轴题上设计了定积分的巧妙运用。
从山东省高考来看，2008年第一次考查定积分的计算，今后将是高考的重点，而且有可能出各种题型。但这部分考查难度不大，只要抓好课本基本概念的理解，特别是曲边梯形的面积，变力做功等实例，了解微积分基本定理的含义，加以灵活运用，就能突破，因此考生在复习这部分内容时不要轻视，不能丢分。 直击训练 基础自测 1.已知函数f(x)在x?1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为 （ A ）
A．f(x)?(x?1)2?3(x?1) C．f(x)?2(x?1)2
B．f(x)?2(x?1) D．f(x)?x?1
解析：代入法可得。 2、根据
?2?0sinxdx?0推断，直线x?0，x?2?和正弦曲线
y?sinx所围成的曲边梯形的面积时，正确结论为（ D ）
A、 面积为0
B、曲边梯形在x轴上方的面积大于在x轴下方的面积 C、曲边梯形在x轴上方的面积小于在x轴下方的面积 D、曲边梯形在x轴上方的面积等于在x轴下方的面积 解析：积分是各段面积的代数和。
3．由直线x?A.
11，x=2，曲线y?及x轴所围图形的面积是（ D ） 4x B. ln2
2141ln2 2
C. 2ln2 D. 3ln2
解析：s?
?2141dx?lnxx?3ln2。
2
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4．设函数f(x)=ax2（a≠0).若
?10f(x)dx?f(x0)，,则x0的值为?3. 3解析：
?10ax3f(x)dx?33?2010?a32?ax0f(x0)，a??。 335、定积分
?|sinx|dx的值是3 3?2解析：
?3?20|sinx|dx =??0sinxdx??sinxdx?3? 。
例题精讲
例题1设函数f(x)的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已
知函数y＝sinnx在[0，
?2]上的面积为（n∈N
nn?4?，
33＊
），（ⅰ）y＝sin3x在[0,
2?3]上的面积为
43；（ⅱ）
y＝sin（3x－π）＋1在[
]上的面积为??
23
。
变式训练1. 由y=sinx,x=0,x=
??,y=0所围成的图形的面积写成定积分的形式是2___
?20sinxdx_________________
?解析：由函数图象特点可知s?变式训练2.
?20sinxdx。
22. 求抛物线y?2x与直线y?2所围图形的面积。
解：令2x?2,得x??1S?
2???11?2x3?2?2x=?2x??3??2?1?1=
8 33
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例题2. 若
?(2x?k)dx?2，则k?__1______
021解析：
?(2x?k)dx?(x01?kx)10?1?k?2，?k?1.
变式训练1. 若
?a11(2x?)dx?3?ln2,则a 的值为( D )
xA. 6 B 4 C 3 D 2
a解析：
?11(2x?)dx??x2?lnx?x5?4a1?a2?1?ln2?3?ln2，a?2。
变式训练2
5?4??(sinx?cosx)dx? 22 5?444解析：
??(sinx?cosx)dx???cosx?sinx??=22. 4测试训练 1.
??0(cosx?1)dx?（ C ）
A．1 B. 0 C 解析：
? D. ?+1
?0??0(cosx?1)dx?(sinx?x)=?。
2. 设连续函数f(x)>0,则当a ?baf(x)dx的符号（A ） A．一定是正的B.一定是负的C.当0 解析：由积分和面积的关系可知，积分为正。 3 f(x)是一次函数，且 17，那么f(x)的解析式是（ A ） ?006A 4x?3 B 3x?4 C ?4x?2 D ?3x?4 1f(x)dx?5,?xf(x)dx?1解析：设f(x)=ax?b，代入可求a?4,b?3. 4. 已知下列值等于1的积分是（C ） dx C.?1dx D?A.?xdx B.?(x?1)0001111dx 021解析： ?1dx?x0110?1 ，其面积是（ D ） x围成一个叶形图（如图所示阴影部分） C． 4 5．曲线y?x和曲线y?A．1 21 B． 22 21D． 3 第一章 集合、函数与导数(3) 231311解析：s??(x?x)dx?(x2?x)0?. 0333126. 函数f(x)?3x2?2x?1,若 11?1或成立，则 f(x)dx?2f(a)a???131解析： 13212?1或，。 f(x)dx?x?x?x?4?23a?2a?1a??????1??137. 已知解析： ?baf(x)dx?6，则?6f(x)dx?_____36___。 ab?ba6f(x)dx?6?f(x)dx?36。 ab8.. 求由曲线y?x2?1，直线x?0,x?2和x轴围成的封闭图形的面积。 解：令y?x2?1=0，得x?1(?x?0)?S???1?x2?dx???x2?1?dx0112 S?24??2。 33点评：求交点，画图，分段求积分。注意找准区域。横坐标方向必须夹在直线x?0,x?2之间。 宽乘高 请先阅读： 2在等式cos2x?2cosx?1（x?R）的两边求导，得：(cos2x)??(2cosx?1)??? ， 2sinx． 2?4cosx?(?sinx)??由求导法则，得(?sin2x)?，化简得等式：sin2x?2cosx?利用上题的想法（或其他方法），结合等式(1+x)=Cn?Cnx?Cnx???Cnx （x?R， n0122nn1k2n?1?1正整数n≥3），证明：?． Cn?k?1n?1k?1nn0122nn证明：将等式(1+x)=Cn?Cnx?Cnx???Cnx两边在[0,1上对x积分 5 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库3第一章集合函数导数(3)（函数改）在线全文阅读。
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