98考三角函数复习专题 - 知识点涵盖齐全[1](3)

6、已知函数f(x)?2sinx?sin(??x)?2sin2x?1 (x?R). 2 （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）若f(ππx02x?(?, )，求cos2x0的值. )?0，4423解: f(x)?2sinx?cosx?2sin2x?1 ??????????????1分

2? ?sinxcoxs 2 ??????????????2分

π?2sin(2x?). 和差角公式逆用 ??????3分 4（Ⅰ）函数f(x)的最小正周期T?2π?π. ??????????????5分 2πππ令2kπ?≤2x?≤2kπ?(k?Z)， ??????????????6分

2423ππ3ππ≤x≤kπ?. ≤2x≤2kπ?. 即kπ?所以2kπ?88443ππ, kπ?] (k?Z). ?????8分 所以，函数f(x)的单调递增区间为[kπ?88（Ⅱ）解法一：由已知得f(两边平方，得1?sin2x0?因为x0?(?x02???????9分 )?sinx0?cosx0?23， 27 同角关系式 所以 sin2x0??????11分 99ππ?π, )，所以2x0?(?, ). 4422所以cos2x0?1?(?)?79242. ??????????????13分 9解法二：因为x0?(?ππππ, )，所以x0??(0, ). ??????????9分 4442又因为f(x0xππ2)?2sin(2?0?)?2sin(x0?)?22443，

π1)?. ??????????????10分 43得 sin(x0?所以cos(x0?)?1?()?π413222. ??????????????11分 3所以，cos2x0?sin(2x0??πππ)?sin[2(x0?)]?2sin(x0?)cos(x0?) 244411

?2??12242. 诱导公式的运用 ?339πππ72，A?(,)． )?424107、（本小题共13分）已知sin(A?（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求函数f(x)?cos2x?5sinAsinx的值域． 2解：（Ⅰ）因为

πππ72?A?，且sin(A?)?， 42410ππ3ππ2?A??，cos(A?)??． 244410所以角的变换因为cosA?cos[(A?)?]?cos(A?)cosπ4π4π4πππ?sin(A?)sin 444 ??3227223????． 所以cosA?． ???6分

510210254． 5 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinA? 所以f(x)?cos2x?5sinAsinx此结构转化为二次函数值域问题 213?1?2sin2x?2sinx??2(sinx?)2?，x?R．

22 因为sinx?[?1,1]，所以，当sinx?13时，f(x)取最大值；

22 当sinx??1时，f(x)取最小值?3．

所以函数f(x)的值域为[?3,]．

32

8．已知△ABC中，2sinAcosB?sinCcosB?cosCsinB. （Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量m?(cosA, cos2A)，n?(?小值时，tan(A?12, 1)，求当m?n取最 5?4) 值.

解：（Ⅰ）因为2sinAcosB?sinCcosB?cosCsinB， 和差角公式逆用

所以2sinAcosB?sin(B?C)?sin(??A)?sinA. ??? 3分 因为0

12

（Ⅱ）因为m?n??12cosA?cos2A， ??????? 8分 51232432所以m?n??cosA?2cosA?1?2(cosA?)?. ?10分

55253所以当cosA?时，m?n取得最小值.

5此时sinA?44（0

tanA?179．已知函数f(x)?3sin2x?sinxcosx?3?x?R?． 2（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）若x?(0,??24)，求f(x)的最大值；（Ⅲ）在?ABC中，若A?B，

f(A)?f(B)?1BC，求的值．

AB2解：（Ⅰ）f()??43sin2?4?sin?4cos?4?31?． 4分 22 （Ⅱ）f(x)?3(1?cos2x)13 ?sin2x?222 ??13sin2x?cos2x ?sin(2x?)． ?6分

322?0?x??2， ???3?2x??3?2?． 3?当2x??3??2时，即x?5?时，f(x)的最大值为1．?8分 12（Ⅲ）?f(x)?sin(2x??)， 3??5??2x??． 333若x是三角形的内角，则0?x??，∴?令f(x)?1，得 2?1???5?sin(2x?)?? 2x??或2x??，此处两解

323636解得x??7?或x?． ??10分

1241， 2由已知，A,B是△ABC的内角，A?B且f(A)?f(B)? 13

?7?，B?， 412?∴C???A?B?． ?11分

6?2sinBCsinA4?2?2． ??13分 又由正弦定理，得??1ABsinCsin?62∴A?10、（本小题共13分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c分，且满足（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a?25，求△ABC面积的最大值． 解：（Ⅰ）因为

2c?bcosB?． acosA2c?bcosB?， acosA 所以(2c?b)?cosA?a?cosB

由正弦定理，得(2sinC?sinB)?cosA?sinA?cosB．边化角 整理得2sinC?cosA?sinB?cosA?sinA?cosB． 所以2sinC?cosA?sin(A?B)?sinC． 在△ABC中，sinC?0． 所以cosA?1?，?A?．

32b2?c2?a21?，a?25． （Ⅱ）由余弦定理cosA?2bc2 所以b?c?20?bc?2bc?20 均值定理在三角中的应用 所以bc?20，当且仅当b?c时取“=” ． 取等条件别忘 所以三角形的面积S?221bcsinA?53． 2 所以三角形面积的最大值为53． ????????13分 11、. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数f(x)?值

xxx3sincos?cos2，当f(B)取最大

2223时，判断△ABC的形状． 21．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ??3分 2解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA

可得cosA=

∵ 0

14

∴A??． ????????5分 3（Ⅱ）f(x)?xxx3113sincos?cos2?sinx?cosx? ?7分

222222?1?sin(x?)?， ??9分

62∵A??2???5?) ∴?B?? ∴B?(0, （没讨论，扣1分）?10分

33666???3?，即B?时，f(B)有最大值是． ?11分

3262??又∵A?， ∴C? ∴△ABC为等边三角形． ??13分

33∴当B?12、. （本小题共13分）

在?ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知tanB?(Ⅰ)求tanA； 解：（I）因为tanB?(Ⅱ)求?ABC的面积.

11tanC?，，且c?1. 2311tanB?tanC，tanC?,tan(B?C)?, ???????1分

1?tanBtanC2311?23?1 . ???????3分 代入得到，tan(B?C)?111??23因为A?180??B?C , ???????4分

所以tanA?tan(180?(B?C))??tan(B?C)??1. 角关系 ???5分 （II）因为0??A?180?，由（I）结论可得：A?135? . ???????7分 因为tanB??11?tanC??0，所以0??C?B?90? . ????8分 23所以sinB?105,sinC?. ????9分

105由

ac?得a?5， ???????11分 sinAsinC11acsinB?. ??????13分 22所以?ABC的面积为：13、．

in在?ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且4s（Ⅰ）求角C的大小；

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2A?Bco?s22C?7． 2（Ⅱ）求sinA?sinB的最大值．

解：（Ⅰ）∵ A、B、C为三角形的内角， ∴ A?B?C??．

∵

4sin2A?B7?cos2C?22， 三角形中角的大小关系 ?C7?cos2C?． ????2分 22∴ 4cos∴ 4?21?cosC71?(2cos2C?1)?．即 2cos2C?2cosC??0． ??4分

2221?∴ cosC?． 又∵ 0?C?? ， ∴ C?． ?7分

32（Ⅱ）由（Ⅰ）得 A?B?2?2??A) 角度变换 ．∴ sinA?sinB?sinA?sin(33?sinA?sin∵ 0?A?∴ 当A?

2?2?33??cosA?cos?sinA?sinA?cosA?3sin(A?)．?10分 332262???5??A??，∴ ．

3666??6?2，即 A??3时，sinA?sinB取得最大值为3．????13分

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