机械能（二）动能、动能定理

一. 本周教学内容

机械能（二）动能、动能定理

二. 知识要点

功能关系、动能、动能定理

1. 能量（简称“能”）：物体具有对外做功的本领就叫能。 常见形式的能量：机械能、内能、电磁能、原子能等。

2. 能量是可以转移和转化的。宇宙中各种物质存在方式就是运动，而运动的本质是能量的再分配和能量的转化。

3. 做功是能量转化的量度。

能量的转化是通过做功实现的，因而做了多少功也就有多少能量的转化，做功是能量转化的量度。

4. 功和能有区别：

能与某种运动形式相联系，是运动状态的描述。功是与力的作用过程相联系，是过程量。有能量不一定要做功，而做功就必须有能量，一般说有1J能量不一定能做1J的功。不能说功转化为能，只能说能转化为能。

5. 动能：由于物体运动而具有的能叫动能。

用公式EK?1mv2计算。EK与v有关，所以是状态量，单位是焦耳，用符号J表示。 2动能是标量无方向、向东运动有1J的动能与向西运动有1J的动能一样多。 计算动能时速度v一般选地面为参考。 6. 动能变化?EK动能定理

动能变化是末动能与初动能的差值，公式表示为?EK?EK末?EK初?1212mvt?mv0 22?EK?0动能增加，?EK?0动能减少。动能定理，合外力的功等于动能变化，即

W总??EK，W合?0，?EK?0，动能增加。

对动能定理应理解到：

（1）动能定理实际是一个质点的功能关系。

（2）动能定理适用于恒力同样适用于变力做的情况。

（3）应用动能定理时W合?W总，包括所有外力做功，不管它是重力、弹力、摩擦力还是其它力。

（4）应用动能定理步骤： ① 确定研究对象 ② 分析受力

③ 分析运动的初、末状态，包括运动过程中哪些力做功 ④ 由动能定理列方程求解

【典型例题分析】

[例1] 行驶的汽车，制动开始后滑行一段距离最后停下来。流星在夜空中坠落发出明亮的火光；降落伞在空中匀速下降。上述不同事物所包含相同的物理规律是（ ）

A. 物体克服阻力做功 B. 物体的动能转化为其它形式的能 C. 物体的势能转化为其它形式的能 D. 物体的机械能转化为其它形式的能

解析：行驶的汽车刹车时速度逐渐减少，动能转变为内能，汽车克服阻力做功，A正确。匀速下降的伞动能没有改变，B错。汽车在水平路面上运动势能没有变，C错。三种

1

情况都是机械能减少，D正确。

[例2] 一小球从高出地面Hm处，由静止自由下落，不计空气阻力，球落至地面后又深入沙坑h米后停止，求沙坑对球的平均阻力是其重力的多少倍。

解：小球由A落到B只有重力作用，由B到C受沙坑阻力f、重力作用。在A点动能为零，在C动能为零，mg(H?h)?fh?0 f?H?hHmg f为重力的1?倍（大于重力） hhAHBfhmgC [例3] 飞行子弹打入放在光滑水平面上的木块中深入2cm，未穿出同时木块滑动了1cm，则子弹动能的变化、木块获得的动能、由于摩擦增加的内能的比是多少。 Sd 解析：子弹打入木块直到一起运动为止，子弹与木块间有摩擦力设为f。 设木块质量M，末速为v，动能EK木?1Mv2 212mv0 2子弹质量为m，飞行速度v0，飞行时动能EK弹?对木块fS?1112Mv2 ① 对子弹f(S?d)?mv0?mv2 ② 2221111122222①代入②得fd?mv0?Mv?mv?mv0?(m?M)v

22222等号右边就是子弹打入木块过程中系统动能损失，即为内能增加值。

fS1? fd2112mv0?fd?(m?M)v2 22112mv0?mv232? ∴ 2fd2由能量守恒知

2

子弹动能减少量、木块动能、增加的内能比为3:1:2

三. 疑难辨析

（一）动能定理应用例析 动能定理的内容是：合力所做的功等于物体动能的变化，数学表达式为：Fs?1212mv2?mv1，动能定理应用广泛，解题简洁、实用，下面举例说明。 221. 求解物体运动的速度 如果物体在力的作用下，作用力、物体的位移和物体的初速度已知时，可用动能定理求解作用后物体的速度。 例1：质量为M、厚度为d的方木块，静置在光滑的水平面上，如图1所示，一子弹以初速度v0水平射穿木块，子弹的质量为m，木块对子弹的阻力为Ff且始终不变，在子弹射穿木块的过程中，木块发生的位移为L。求子弹射穿木块后，子弹和木块的速度各为多少？

v0dL 图1 解析：子弹受力如图2所示，由题知子弹的初速度为v0，位移为s?L?d，阻力为Ff。 子弹射穿木块的过程由动能定理得?Ff(L?d)?解得v?1212mv?mv0 22v?202Ff(L?d)m v0FNFfmg 图2 木块受力如图3所示，由题知木块的初速度为0，发生的位移s?L，Ff为动力，子弹射穿木块的过程由动能定理得FfL?解得v1?1Mv12 22FfLM FNFfF′NMg图3 3 2. 求解物体受的力

如果物体在几个力（其中有一个未知力）的作用下，物体的位移和其动能的变化量已知时，可用动能定理求此未知力。

例2：物体质量为10kg，在平行于斜面的拉力F作用下沿斜面向上运动，斜面与物体间的动摩擦因数为??0.1，当物体运动到斜面中点时，去掉拉力F，物体刚好能运动到斜面顶端停下，斜面倾角为30°，求拉力F多大？（g?10m/s2） 解析：木块受力如图4所示，设斜面的长度为s。 木块受到的摩擦力Ff??FN??mgcos30??0.1?10?10?木块从开始运动到静止由动能定理得F3N?8.7N 2s?Ffs?mgssin30??0 21解得F?2(Ff?mgsin30?)?2?(8.7??10?10)N?117.4N 2FNFFfmg 图4 3. 求解物体的位移 物体在已知力的作用下，其动能的变化量已知时，可用动能定理求解物体发生的位移。 例3：总质量为M的列车，沿水平直线匀速前进，其末节车厢质量为m。中途脱钩，司机发现后关闭油门时，机车已行驶L的距离。设运动过程中阻力与质量成正比，机车关闭油门前牵引力是恒定的，则两部分都停止运动时，它们之间的距离是多少？ 解析：脱钩后，机车、末节车厢受力如图5所示。 FN1Ff1FN2FFf2(M-m)gmg 图5 由题知机车受到的摩擦力Ff1?k(M?m)g，末节车厢受到的摩擦力Ff2?kmg（k为比例常数）。列车匀速前进时，由平衡条件得牵引力F?kMg。 设列车匀速前进时的速度为v，脱钩后至停下机车运动的位移为s1，由动能定理得 1FL?Ff1s1?0?(M?m)v2

212即kMgL?k(M?m)gs1?0?(M?m)v

22kMgL?(M?m)v2所以s1?

2k(M?m)g设脱钩后至停下来末节车厢的位移为s2，由动能定理得?Ff2s2?0?1mv2 24

12v2即?kmgs2??mv 所以s2?

22kgML则它们之间的距离?s?s1?s2?

M?m4. 求解变力所做的功

如果物体所受的外力中有变力，有恒力，且恒力的功容易计算，物体动能的变化量也容易求解，可由动能定理求出变力的功。

例4：质量为4t的汽车，以恒定功率沿平直公路行驶，在一段时间内前进了100m，其速度从36km/h增加到54km/h。若车受到的阻力恒定，且阻力因数为0.02，求这段时间内汽车所做的功。（g?10m/s2）

解析：以汽车为研究对象，在水平方向受牵引力F和阻力Ff的作用。因为汽车的功率恒定，汽车的速度小时牵引力大，速度大时牵引力小，所以，此过程牵引力为变力，汽车的运动也是变速运动。此题用动能定理求解非常方便。

1212mv2?mv1 又Wf??Ffs??kmgs 22其中v1?36km/h?10m/s，v2?54km/h?15m/s

122解得W?m(v2?v1)?kmgs

21??4?103?(152?102)J?0.02?4?103?10?100J 2?3.3?105J

由动能定理，可得W?Wf?动能定理内涵丰富，解决问题简洁、实用，是其他物理规律和定理无法比拟的，应熟练掌握。

（二）动能定理使用三误区

误区一：不理解动能是标量，认为不同方向的动能Ek值相同，而意义不同。 例1：一物体质量为2kg，以4m/s的速度在光滑水平面上向左滑行。从某时刻起作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度方向变为水平向右，大小为4m/s，在这段时间内，水平力做功为（ ）

A. 0 B. 8J C. 16J D. 32J 错解：WF??1112mv2?(?mv0)??2(42?42)?32J 222选D

诊断及正解：错在认为动能有方向，向左的16J动能与向右的16J动能不同。实际上动

WF??Ek?能是标量，没有方向，且是恒正的一个量，由动能定理得：

112mv2?mv0?0 22正确答案：A

误区二：不理解动能定理的实质，在运用中，位移和速度不相对同一参照系。

例2：子弹以某速度击中静止在光滑水平面上的木块，当子弹进入木块深度为x时，木块相对水平面移动距离

x，求木块获得的动能?Ek1和子弹损失的动能?Ek2之比。 2错解：设子弹在木块中运动时，受到木块摩擦阻力大小为Ff，则由动能定理：

对子弹：?Ff?x?Ek末?Ek初???Ek2

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