2013-2014高二数学理科期中考试试题（含答案）(2)

22. （本小题满分12分）设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，已知数列项为1，公差为1的等差数列. (Ⅰ) 求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）令bn??S?是首

nm1?，若不等式b1?b2?b3???b对任意n2n?1?1anS2n?1?an?1S2n?1n?N*都成立，求实数m的取值范围.

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2013—2014学年上期中考

高二理科数学试题

参考答案

一、选择题：

1-5 BCCAD 6-10 AB A CA 11-12BA 二、填空题 13.

1 14. 4 15. ??4,2? 16. 63或103 53三、解答题：

??3x?2,(x??2)? 17.解：（Ⅰ）由于f(x)?|2x?4|?|x?2|??6?x,(?2?x?2)

?3x?2,(x?2)?所以函数y?f(x)的最小值为f(2)?4.………………………5分

（Ⅱ）若不等式f(x)?|a?4|?|a?3|的恒成立，则|a?4|?|a?3|?f(x)min?4， 当a??4时，??a?4???a?3??4，解得?7?4，所以a??4； 当?4?a?3时，?a?4???a?3??4，解得a?33，所以?4?a?； 22当a?3时，?a?4???a?3??4，解得7?4，所以无解； 综上，a的取值范围为a?3.……10分 218. 解：由题意知AB＝5(3＋3)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°， ∠DAB＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB中，由正弦定理得AB·sin∠DAB5∴DB＝＝sin∠ADB

DBAB

＝，

sin∠DABsin∠ADB

?3?3sin45?sin105??＝103(海里)．

又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)， 在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC

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1

＝300＋1200－2×103×203×＝900，

2

30

∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．即该救援船到达D点需要1小时．… 12分

3019. 解：(1)由a2?a5?12,a2a5?27.且d?0得a2?3,a5?9

?d?a5?a2?2,a1?1?an?2n?1n?N? 3??在Tn?1?1211bn中,令n?1,得b1?.当n?2时,Tn=1?bn,Tn?1?1?bn?1,

3222两式相减得bn?n?1b111bn?1?bn,?n??n?2? 22bn?13?2?. …………… 6分 n?Nn32?1??bn???3?3???(2)cn??2n?1??24n?2?, nn3352n?1?S32n?32n?1??13?1?Sn?2??2?3???n?,n?2?2?3????n?1?, n333333333????

??1?1?2?1???n?1?1?1211?2n?1??12n?1?93???Sn?2??2?2?3???n??n?1?=2???n?1?

1333?3??33??3?31???3??=2??1112n?1?44n?4??n?n?1???n?1, 33333??3?Sn?2?2n?2 …………… 12分 n322220.(1)由余弦定理知，b?c?a?2bccosA，∴tanA?∵A?(0，)，∴A=33?sinA? ，

2cosA2??32.-----4分

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(2) ∵?ABC为锐角三角形且B?C=2??2???C?， ，∴?B=36322?2?2?cosB?cosC?cosB?cos(?B)?cosB?coscosB?sinsinB

33313?=cosB?sinB?sin(B?) 226∵

?3?B??6?2?3?，∴?sin(B?)?1， 326即cosB?cosC的取值范围是(3,1]. …………… 12分 221. 解：由log2（x+3）+log1x≤3得

2x?3??x?3?3?833?log2???x≥，即f（x）的定义域为［，+∞）. xx??77?x?0?x?0??33∵f（x）在定义域［，+∞）内单调递减，∴当x2＞x1≥时，f（x1）－f（x2）＞0恒成立，即

771111（ax1－+2）－（ax2－+2）＞0?a（x1－x2）－（－）＞0

x1x2x1x2（a+?（x1－x2）

1）＞0恒成立. x1x211）＞0?a+＜0. x1x2x1x2∵x1＜x2，∴（x1－x2）（a+∵x1x2＞

1949＞－， ?－x1x2499149要使a＜－恒成立，则a的取值范围是a≤－. …………… 12分

x1x2922. 解：（1）∵数列

?S?是首项为1,公差为1的等差数列，

n2 ∴Sn?1??n?1??n. ∴Sn?n2.

2 当n?1时，a1?S1?1； 当n?2时，an?Sn?Sn?1?n??n?1??2n?1.

又a1?1适合上式. ∴an?2n?1. …… 4分

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（2）bn?

11 ?anS2n?1?an?1S2n?1?2n?1?2n?1??2n?1?2n?1?1?2n?1??2n?1??2n?1?2n?1??1?11?????∴22n?1?2?2n?1??2n?1??2n?12n?1?2n?11?1?1?11?1?11? b1?b2???bn??1????????????2?2?2n?13?2?35?2n?1? ?1?1?2n?1?1. 1???2?2n?1?22n?1?m*对任意n?N都成立，

2n?1?1 ∴2n?1?122n?1?? 得m? 令cn?2n?1?1??2n?1?122n?1??n*对任意n?N都成立. 2n?1ncn?1?n?1?2n?12n3?5n2?4n?1，则???1.

32c2n?1n2n?32n?3nn ∴cn?1?cn. ∴cn?cn?1???c1?33. ∴m?. 33 ∴实数m的取值范围为???,???3??. …… 12分 3?n?1?2n?1?n2n?3?n?1n??[另法]:cn?1?cn? 2n?32n?1?2n?1??2n?3? ?2n3?5n2?4n?1?2n3?3n3?2n?1??2n?3??0.

∴cn?1?cn. ∴cn?cn?1???c1?

33. ∴m?.. …… 12分 33高二理科数学 第 10 页 共 6 页

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