第九章 第八节 空间向量及其运算（B）
题组一
空间向量的线性运算 1.如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为 ?????????1???AB、BC、CD、AC的中点，则(AB＋BC＋CD)化简
2的结果为 ( )
A．BF B．EH
???????? C．HG D．FG
?????????????????1???1????1????1????解析：(AB＋BC＋CD)＝(AC＋CD)＝AD＝·2HG＝HG.
2222答案：C
2．如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱
ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，
??????????????若AB＝a，A1D1＝b，A1A1＝c，则下列向 ?????量中与B1M相等的向量是 ( )
????????1111
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
22221111
C.a－b＋c D．－a－b＋c 2222解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，
????????????????1???B1M＝B1B＋BM＝c＋BD
2
????1????11
＝c＋(AD－AB)＝－a＋b＋c.
222
答案：A
题组二 空间中的共线、共面问题 3.已知e1，e2，e3为不共面向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2＋e3，c＝e1＋e2－e3， d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别是________．
解析：由d＝xa＋yb＋zc可得e1＋2e2＋3e3＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x＋y－z)e3，
1
?x＋y＋z＝1，?x，所以?
?x－y＋z＝2，
解之得?
＝52??
?x＋y－z＝3，
?y＝－1?2
，z＝－1.
答案：51
2，－2
，－1
4．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E.求证：
(1)BD1⊥平面ACB1； (2)BE＝1
2
ED1.
??????????????????????解：(1)∵BD????????1＝BC＋CD＋DD1，AC＝AB＋BC，
∴??????????????????????????BD1·AC＝(BC＋CD＋DD1)·(????????????????????AB＋BC)＝BC·BC＋CD·AB＝ ????????BC·BC－????????????AB·AB＝|BC|2－|????AB|2
＝1－1＝0，
∴BD1⊥AC.
同理可证BD1⊥AB1，又AC∩AB1＝A，于是BD1⊥平面ACB1.
(2)如图，设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，设向量????????AB＝a，AD＝b，?????AA1＝c，
则?????＝1???????2(?BMAD－AB)＝1
2
(b－a)，
?????则BM＝??????????1BM－BB1
＝1
2
(b－a)－c， ?????BD1＝b＋c－a.
?????设????BE＝λBD1＝λ(b＋c－a)，
则??????????????EM＝BM－BE＝12(b－a)－λ(b＋c－a)＝(－11
2＋λ)a＋(2
－λ)b－λc，
由B，E，M共线可知，存在实数t，使得??????????1EM＝tB1M
?－12＋λ＝－1
2
t，即(－12＋λ)a＋(11
?2－λ)b－λc＝2
t(b－a)－tc，故?1
1?－λ＝t，?22λ＝t，
解之得λ＝t＝1
3
.
故BE＝13BDBE＝1
1，所以2ED1.
2
题组三
5.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点 E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于( )
????????A．2BA·BC B．2AD·BD
????????C．2FG·CA
????????D．2EF·CB
????????????????ππ22解析：〈AD，BD〉＝，∴2AD·BD＝2a×cos＝a.
????????空间向量数量积及应用 33
答案：B
6．二面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点， AC、BD分别在半平面α、β内， AC⊥l，BD⊥l， 且AB＝AC＝α，BD＝2a，则CD的长为 ( ) A．2a B.5a C．a D.3a 解析：∵AC⊥l，BD⊥l，
????????????????????????∴〈AC,BD〉＝60°，且AC·BA＝0，AB·BD＝0， ????????????????∴CD＝CA＋AB＋BD， ????????????????2∴|CD|＝(CA?AB?BD)
＝a2＋a2＋(2a)2＋2a·2acos120°＝2a. 答案：A
7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．
解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 ＝4×4×cos120°＝－8，
∴b·(2a＋b)＝2a·b＋b2＝2×(－8)＋42＝0. 答案：0
8．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， 以顶点A为端点的三条棱长都为1，且 两夹角为60°. (1)求AC1的长；
(2)求BD1与AC夹角的余弦值．
?????????????解：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则两两夹角为60°，且模均为1.
3
(1)??????????????ACC＋CC?????????????1＝A1＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋c. ∴|?????AC21|＝(a＋b＋ c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c
＝3＋6×1×1×1
2
＝6，
∴|?????AC1|＝6，即AC1的长为6. (2)??????????BD?????????????????1＝BD＋DD1＝AD－AB＋AA1＝b－a＋c. ?????????∴BD1·AC＝(b－a＋c)·
(a＋b) ＝a·b－a2＋a·c＋b2－a·b＋b·c ＝1.
|?????BD1|＝(b－a＋c)2＝2，|AC―→|＝(a＋b)2＝3，
∴cos〈??????????????????BDAC〉＝????BD?1?A???C?＝
1＝61，. BDAC2×361?∴BD61与AC夹角的余弦值为6
. 题组四 空间向量及其运算的综合 9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a， M、N分别为A1B和AC上的点， A1M＝AN＝
2a3
， 则MN与平面BB1C1C的位置关系是 ( ) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 解析：∵正方体棱长为a，A2a1M＝AN＝
3
， ????＝2?????????∴MB3
A2????1B，CN＝3
CA，
?????????∴?????????MB＋BC＋CN＝2????????3A2????MN＝1B＋BC＋3
CA
?????????＝2?????3(A2????????1B1＋B1B)＋BC＋3
(CD＋DA) ?＝2????3B1?????1B＋3B1C1. ????又∵CD是平面B1BCC1的法向量，
且??????????MN·
CD＝(2????1?????????3B1B＋3B1C1)·CD＝0， ????∴?????MN⊥CD，
4
∴MN∥平面B1BCC1. 答案：B
10．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°， 3AD＝DC＝3，AB＝2，E是DC上的点，且满足 DE＝1，连结AE，将△DAE沿AE折起到△D1AE 的位置，使得∠D1AB＝60°，设AC与BE的交点为O.
(1)试用基向量??????????????????AB，AE，AD1表示向量OD1；
(2)求异面直线OD1与AE所成角的余弦值；
(3)判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直？并说明理由． 解：(1)∵AB∥CE，AB＝CE＝2，
∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为BE的中点． ??????????????∴?????ODD1????????1＝A1－AO＝AD1－2
(AB＋AE)
＝?????AD1????1????1－2AB－2
AE.
(2)设异面直线OD1与AE所成的角为θ，
?????则cosθ＝|cos〈OD?????????????|????OD?1?A???E1，AE〉|＝?|，
OD1?AE?????∵OD?????????1????1????????1·AE＝(AD1－2AB－2
AE)·AE
?????＝AD????1????????1????AE－2AB·AE－2
|AE|2
1·
＝1×2×cos45°－12×2×2×cos45°－12×(2)2
＝－1，
??????????|OD1|＝
(AD1????261?2AE)＝2，
?????????∴cosθ＝|????OD?1?A???E?|＝|
－1|＝3. OD1?AE62
×23故异面直线OD1与AE所成角的余弦值为33
. (3)平面D1AE⊥平面ABCE.证明如下：
???????????取AE的中点M，则D?????1?????????1M＝AM－AD1＝2
AE－AD1，???????????∴D????1????????1M·AE＝(2
AE－AD1)·AE
5
＝12
|????|－?AD????AE2????1·AE ＝1
2×(2)2－1×2×cos45°＝0. ∴??????D????1M⊥AE.∴D1M⊥AE.
??????∵?????DM·????AB＝(1????????12AE－AD1)·AB ＝1?????????????????2
AE·AB－AD1·AB ＝1
2×2×2×cos45°－1×2×cos60°＝0，??????∴D????1M⊥AB，∴D1M⊥AB.
又AE∩AB＝A，AE、AB?平面ABCE， ∴D1M⊥平面ABCE. ∵D1M?平面D1AE， ∴平面D1AE⊥平面ABCE. 6
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