则
.
5.设函数F(t)是解析函数，而且在带形区域
内有界.定义函数
(4)解:
证明当
时，有
为
对所有的实数t成立. (书上有推理过程)
令
，则
在上半平面有两
6.求符号函数
个一级极点
.
傅里叶变换. 解: 因为
故
.
.
不难看出
(5) 解:
7.已知函数
的傅里叶变换
求
同(4).利用留数在积分中的应用,令
解:
故：
的
把函数
证明：
8.设函数f(t)的傅里叶变换常数. 证明
，a为一
同理：
F
11.设
当a>0时,令u=at.则
当
a<0时,令u=at,则
计算解：当
.
时，若=0.
则
故
.
故原命题成立. 9.设
证明 .
证明：
若则
若
10.设
，证明：
则
以及
故
(3)
12.设
为单位阶跃函数，求下列函数的
(4)(5)
2.求下列函数的拉普拉斯变换.
傅里叶变换.
（1）
(2)解: (1)
习题八
1.求下列函数的拉普拉斯变换.
(1)(2)(3)
(4)(5)
解: (1)
，
为阶跃函数, 求换. 解:
的拉普拉斯变
， ，
3.
设
函
数
(2)
,其中函数
(2)
4.求图8.5所表示的周期函数的拉普拉斯变换
(5)
(6)
解：
5. 求下列函数的拉普拉斯变换.
(7)
(
(3)(5(6(7)
解:(1)
(2)(4)
(8)
(8)
6.记
，
证明:
证
明
，对常数
，若
(2)
7
记
，
证
:明
证明：当n=1时,
(4)
所以，当n=1时,
(3)
(4)
(5)
(6
显然成立。
假设，当n=k-1时, 有
现证当n=k时
解：(1)
(2) (3)
8. 记明:
，如果a为常数,证
(4)
证明：设
，由定义
(5)
(6)
9. 记
，证明:
,即
11.设函数f, g, h均满足当t<0时恒为零，证明
以及
证明：
证明：
10.计算下列函数的卷积
(1)
(2)
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