消去得，像曲线方程为一阿波罗斯圆.即
7. 若分式线性映射，
将圆周
Im(z)>0
|z|=1映射成直线则其余数应满足什么条件？
(3) 当时，即
解：若将圆周|z|=1映成直线，
令w=u+iv得
,
则映成.
.
即v>0,故Im(z)>0的像为Im(w)>0.
9. 求出一个将右半平面Re(z)>0映射成单位圆|w|<1的分式线性变换.
解：设映射将右半平面z0映射成w=0，则z0关于轴对称点
的像为
，
而落在单位圆周|z|=1,所以
,|c|=|d|.
故系数应满足ad-bc0,且|c|=|d|.
8. 试确定映射，合的像. (1)
作用下，下列集
所以所求分式线性变换形式为其中k为常数.
; (2) |z|=2; (3)
又因为
,而虚轴上的点z对
应|w|=1,不妨设z=0，则
Im(z)>0.
解：(1) Re(z)=0是虚轴，即z=iy代入得.
写成参数方程为
.
， , 故.
消去y得，像曲线方程为单位圆,即
u2+v2=1. (2) |z|=2.是一圆围，令
.
10. 映射将映射成
,实数的几何意义显什么？ 解：因为
代入得化为参数方程.
从而
所以
故表示
在单位圆内处的
旋转角
.
11. 求将上半平面Im(z)>0,映射成|w|<1单位圆的分式线性变换w=f(z)，并满足条件
(1) f(i)=0,
=0; (2) f(1)=1,
f(i)= .
解：将上半平面Im(z)>0, 映为单位圆|w|<1
的一般分式线性映射为w=k(Im(
)>0).
(1) 由f(i)=0得
=i，又由arg
,
即
,
，得
，所以
.
(2) 由f(1)=1,得k=
；由f(i)=
,
得k=
联立解得
.
12. 求将|z|<1映射成|w|<1的分式线性变换w=f(z)，并满足条件：
(1) f()=0, f(-1)=1.
(2) f()=0,
, (3) f(a)=a,
.
解：将单位圆|z|<1映成单位圆|w|<1的分式线性映射，为
, |
|<1.
(1) 由f()=0，知.又由f(-1)=1，
知
.
故
.
(2) 由
f()=0，知，又
，
于是
.
(3) 先求
，使z=a，
,且|z|<1映成||<1.
则可知
再求
w=g()，使
=0w=a,
,且||<1映成|w|<1.
先求其反函数,它使|w|<1映为
||<1,w=a映为=0，且
,则
.
因此，所求w由等式给出.
.
13. 求将顶点在0，1，i的三角形式的内部
映射为顶点依次为0，2，1+i的三角形的内部的分式线性映射.
解：直接用交比不变性公式即可求得
∶
=
∶
.=.
.
14. 求出将圆环域2<|z|<5映射为圆环域4<|w|<10且使f(5)=-4的分式线性映射. 解：因为z=5,-5,-2,2映为w=-4,4,10,-10,由交比不变性，有
∶
=∶
故w=f(z)应为
∶=∶
即 =.
讨论求得映射是否合乎要求，由于w=f(z)将|z|=2映为|w|=10，且将z=5映为w=-4.所以|z|>2映为|w|<10.又w=f(z)将|z|=5
映为|w|=4，将z=2映为w=-10，所以将|z|<5映为|w|>4，由此确认，此函数合乎要求. 15.映射
将z平面上的曲线
映射到w平面上的什么
曲线？ 解：略.
16. 映射w=ez将下列区域映为什么图形. (1) 直线网Re(z)=C1,Im(z)=C2; (2) 带形区域
;
(3) 半带形区域
.
解：（1） 令z=x+iy, Re(z)=C1,
z=C1+iy, Im(z)=C2,则
z=x+iC2
故
将直线Re(z)映成圆周
；
直线Im(z)=C2映为射线.
（2） 令z=x+iy，
,则
故
将带形区域
映为的张角为
的角形区
域.
（3） 令z=x+iy，x>0，0 , .则 故 将 半带 形 区 域 Re(z)>0,0 映为 |w|>1, (). 为半带形0 17. 求将单位圆的外部|z|>1保形映射为全平面除去线段-1 映为所求区域，故 . 解：先用映射再用分式线性映射. 将|z|>1映为|w1|<1, 19. 求将Im(z)<1去掉单位圆|z|<1保形映射为上半平面Im(w)>0的映射. 解：略. 20. 映射将半带形区域0 将|w1|<1映为上半平面 Im(w2)>0, 然后用幂函数 映为有 割痕为正实轴的全平面，最后用分式线性映 因为 射全平面. 故 将区域映为有割痕[-1,1]的 可以分解为 w1=iz ， 由于 ， 在所给区域单叶解析，所以 （1） w1=iz将半带域旋转 . 18. 0 求 出 将 割 去 负 实 轴 （2） ,Im(z)=0的带形区域 ，映为 将区域映为单位圆的上半 圆内部|w2|<1,Im(w2)>0. 映射为半带形区域,Re(w)>0的映射. 解：用 将区域映为有割痕(0,1)的 （3） 面Im(w)<0. 将区域映为下半平 习题 七 1.证明：如果f(t)满足傅里叶变换的条件，当f(t)为奇函数时，则有 右半平面Re(w1)>0；再用半平面映为有割痕(-又用 将 其中当 ,-1]的单位圆外域； 将区域映为去上半单位圆 将区域映 f(t)为偶函数时，则有 内部的上半平面；再用 其中证明： 因为 为f(t)的傅里叶变换 其中 3. 当f(t)为奇函数时，从而 为偶函数，从而 为奇函数， 计算函数 . 解: 故 为奇数。 有 4.求下列函数的傅里叶变换 = 解： 所以，当f(t)为奇函数时，有 (2) 同理，当f(t)为偶函数时，有 .其中 所以根据傅里叶变换的微分性质可得 2.在上一题中，设 的值. 解: .计算 (3)解： 解：因为 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库工程数学习题集(含部分湖大版《大学数学5》课后答案)(7)在线全文阅读。
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