直线和平面所成的角与二面角1111(2)

3MN2?ME2?NE22MN?ME由余弦定理，cos∠NME==9＞0.

∴∠NME为锐角.

3∴∠NME就是异面直线BC与AD所成角，其余弦值为9.

解法二：在平面BCD内作□BCGD(如图9-7-8)，连结AG，则DG∥BC，

∴∠ADG是直线BC与AD所成角或者其补角. ∵BD∥CG，EC⊥BD，∴EC⊥CG. 又∵AE⊥平面BCD，

∴AC⊥CG，CG=BD=2，DG=BC=3.

22在Rt△ACG中，AG=AC?CG=14，

3AD2?DG2?AG23?9?142AD?DGcos∠ADG==23?3=9. 3∴直线BC与AD所成角的余弦值为9.

点拨：本题的(1)设问新颖，属开放式，增加了问题的灵活度，对空间想象能力、推理、判断能力要求更高，近年高考中像这样开放式设问题的试题较多，是高考命题的一个热点.本题的(3)求异面直线所成角，要化归为相交线所成角，解法一利用中位线性质将两异面直线所成角转化为相交直线所成角，解法二过一直线上一点作另一直线的平行线.应注意异面直线所成角一定是锐角或直角.

四、高考思维点拨 【例5】 (2002，河南、江苏)四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形PB⊥面ABCD. (1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；

(2)证明：无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°. 思维入门指导：解答第(1)问，基本思路是寻找面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角，进而求棱锥的高和体积；也可以通过侧面△PDA在底面的射影面积与二面角的关系求解；还可以补形为正四棱柱求解，但此法较繁琐.解答第(2)问，首先要找出面PAD与面PCD所成的二面角的平面角，也即找出一个垂直于PD的平面，转化为在平面上研究该平面角的大小.

(1)解法一：∵PB⊥面ABCD，∴BA是PA在面ABCD上的射影. 又DA⊥AB，∴PA⊥DA.

∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角. ∴∠PAB=60°.

而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB2tan60°=3a，

3123

∴V锥=323a2a=3a.

解法二：如图9-7-9，∵PB⊥面ABCD，连结BD， 则△ABD是△APD在面ABCD上的射影， ∴

S△ABDS△APD=cos60°.

12a21122

又S△ABD=2a，∴S△APD=2=a.

由PB⊥AD，AD⊥AB，得AD⊥面PAB.∴AD⊥AP.

S△APDa211ADa22∴PA===2a.

在Rt△PAB中，PB==3a，

∵PB是四棱推P—ABCD的高，

3123

∴V锥＝323a2a＝3a.

(2a)2?a2(2)证法一：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，如图9-7-10，则△ADE≌△CDE，∴AE=CE，∠CED=90°.

故∠CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.

2设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，2a=OA＜AE＜AD=a，且AD=2OA.在△AE2?EC2?(2?OA)2(AE?2OA)(AE?2OA)AE22AE?ECAEC中，cos∠AEC==＜0.所以，面PAD与PCD

所成的二面角恒大于90°.

证法二：如图9-7-10，同证法一，得∠CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.

222222

设PB=h，则PA=h+a，PD＝h+2a.

PA?AD22在Rt△PAD中，AE=PD=h?2a. 在△AEC中，∵AE=EC，

ah2?a2AE2?EC2?AC2AE2?a222AE?EC∴cos∠AEC==AE

a2a2h2?2a222222 =1-AE=1-h?a=-h?a＜0.

∴∠AEC是钝角.即面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.

点拨：本题以《立体几何》课本的一道复习题为基础，通过题中某个元素的变动，导出

某个“恒定”的结论，创设出一个新的问题，与课本的习题一气呵成，构成一个完美的题组，给人以完整、清新、自然的感觉，是一道颇具创意的试题.本题的第(1)题，出自于课本复习参考题九B组第6组，它只改变问题的表述，并不改变问题的本质，考查线面、线线垂直关系的逻辑推理和解直角三角形、求棱锥体积的运算，是对考生的基本要求.

五、经典类型题思维点拨

【例6】 如图9-7-11，三棱柱OAB－O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO1=2， OA=3.求：

二面角O1-AB-O的大小；

思维入门指导：根据题意利用二面角的定义，找出二面角的平面角，运用解三角形的知识求出.

解：取OB的中点D，连结O1D，则O1D⊥OB. ∵平面OBB1O1⊥平面OAB， ∴O1D⊥平面OAB.

过点D作AB的垂线，垂足为E，连结O1E，则O1E⊥AB. ∴∠DEO1为二面角O1-AB-O的平面角.

21由题设得O1D=3，sin∠OBA=OA?OB=7.

22

OA21∴DE=DB2sin∠OBA=7.

DO1∵在Rt△O1DE中，tan∠DEO1=DE=7.

∴∠DEO1=arctan7.

即二面角O1-AB-O的大小为arctan7. 六、探究性学习点拨

1【例7】 在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=2AB=a(如图9-7-12(1))，将△ADC沿AC折起，使D到D′，记面ACD′为α，面ABC为β，面BCD′为?.

(1)若二面角α-AC-β为直二面角(如图9-7-12(2))，求二面角β-BC-?的大小； (2)若二面角α-AC-β为60°(如图9-7-12(3))，求三棱锥D′一ABC的体积.

思维入门指导：本题是一道由平面图形折叠形成的立体几何问题.主要考查空间想象力和图形对应关系，也考查了立体几何的常规计算——二面角计算和体积计算.

解：(1)在直角梯形ABCD中，由已知△DAC为等腰直角三角形，∴AC=2a，∠CAB=45°. 由AB=2a，可推得BC=AC=2a，∴AC⊥BC.

取AC的中点E，连结D′E，如图9-7-13，则D′E⊥AC.

∵二面角α-AC-β为直二面角，∴D′E⊥β. 又∵BC?平面β，∴BC⊥D′E.

∴BC⊥α.而D′C?α，∴BC⊥D′C. ∴∠D′CA为二面角β-BC-?的平面角.

由于∠D′CA=45°，∴二面角β-BC-?为45°.

(2)如图9-7-14，取AC的中点E，连结D′E，再过D′作D′O⊥β，垂足为O，连结O E.∵AC⊥D′E，∴AC⊥OE.∴∠D′EO为二面角α-AC-β的平面角.∴∠D′EO=60°.在Rt△122361D′OE中，D′E=2AC=2a，D′O=D′E2sin60°=2a22=4a.∴VD′-ABC=3S△ABC2D′1O=33

16612AC2BC2D′O=632a32a34a=12a3.

点拨：本题立意简明，考查了空间图形的基本推理和运算，对于折叠问题，空间图形中大多数数据靠平面图形计算去赋值，这是解决这类问题的通常思考方法，题目难度中档，有一定的区分度.

【强化练习题】

A卷：教材跟踪练习题 （60分 45分钟）

一、选择题（每小题5分，共30分）

1.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB=2BB1；则AB1与C1B所成角的大小为（ ） A.60° B.90° C.105° D.75°

2.直线l与平面α斜交成n°角，则l与α内任意直线所成角中，最小与最大的角分别是( )

A.n°与90° B.180°-n°与n° C.n°与180°-n° D.以上都不是

3.PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）

3621A.2 B.2 C.3 D.3

4.二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是面α内的一点（它不在棱AB上），点D是点C在面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，那么（ ）

A.∠CEB=∠DEB B.∠CEB＞∠DEB

C.∠CEB＜∠DEB D.∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定

5.在空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，且AD=4，BC=6，MN=19，则AD与BC所成角的余弦值和所成角分别为（ ）

2???2?1111A.-2，3 B.-2，3 C.2，3 D.2，3

6.已知a、b是异面直线，A，B∈α，A1，B1∈b，AA1⊥α，AA1⊥b，BB1⊥b，且AB=2，

A1B1=1，则α与b所成的角等于（ ）

A.30° B.45° C.60° D.75° 二、填空题（每小题4分，共16分）

7.在正方体ABCD－－A1B1C1D1中，BD1与平面A1B1C1D1所成角的正切值为________. 8.AB∥平面α，AC⊥α于C，BD是α的斜线，D是斜足，若AC=9，BD=63，则BD与α所成的角为________.

9.过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有________.

10.一条长为a的线段夹在互相垂直的两平面之间，它和这两个平面所成角分别为45°和30°，由这线段的两个端点向两个平面引垂线，那么垂足间的距离是________.

三、解答题（每小题7分，共14分）

11.如图9-7-15，A是△BCD所在平面外一点，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°.E是BD的中点.

求证：平面AEC⊥平面ABD，平面AEC⊥平面BDC.

12.设E为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值.

B卷：综合应用创新练习题 （90分 90分钟）

一、学科内综合题（10分）

1.如图9-7-16，以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O一xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.

(1)求cos；

(2)记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，求∠BED. 二、应用题（10分）

2.一个气象探测气球以14m／min的垂直分速度由地面上升，经过10min后，由观察点D测得气球在D的正东，仰角为45°；又过10min后，测得气球在D的北偏东60°，仰角为60°.若气球是直线运动，求风向与风速.

三、创新题（60分）

（一）教材变型题（10分）

3.（P46习题9.7第4题变型）山坡与水平面成30°角，坡面上有一条与山底水平线成30°角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了100米，则此人行走的路程为________ .

（二）一题多解（15分）

4.如图9-7-17，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、AB之中点，求EF和平面ACC1A1所成角的大小.

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