直线和平面所成的角与二面角1111

直线和平面所成的角与二面角

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立体几何中的角大致可分为三种，即线线角，线面角，平面与平面所成的二面角.立体几何计算问题几乎都与三种空间角的计算有关，是高考立体几何检测的热点内容，题型上一般以解答题进行考查，难度适中，如1993全国理5分；1995全国文5分；1996全国4分；2002北京4分；1996上海12分；2002全国理12分；2002新课程12分；2002上海春12分；2003北京春5分；2004北京14分；2004广东12分等.

【学法点拨】

本节内容有斜线在平面上的射影，斜线与平面所成的角，公式cos?=cos?12cos?2，最小角定理，二面角的概念，二面角的平面角，两个平面垂直的判定定理及性质定理，对于本节知识的学习要了解线面角、半平面与半平面所成二面角以及异面直线所成角，在求法上一般都是转化为平面的角，具体地，通常应用“线线角抓平移，线面角抓射影，面面角抓平面角，利用向量抓法向量”而达到化归的目的.要注意对平面角的拼求和各种角的定义及取值范围.空间角的计算步骤是“一作，二证，三计算”.“作”即在图形中若无所求空间角的平面角，应先作出来；“证”指明自己所找或所作的角即为所求角；“计算”在平面几何图形内把角求出.在三种角的计算中要特别注意二面角的作法及求法，注意

cos?=cos?12cos?2在线面角求值中的应用，注意利用射影面积公式S′=S2cos?求二面角，对于平面与平面垂直的判定与性质的学习，可以与直线与直线垂直，直线与平面垂直的判定与性质联系起来，应用时注意三种垂直之间的相互转化.同时在学习中培养空间的想象能力、解决问题的能力以及逻辑推理能力和运算能力.

【基础知识必备】 一、必记知识精选

平面的斜线和平面所成的角. (1)直线与平面所成角 ①范围：0°≤α≤90°

当α=0°时，直线在平面内或直线平行于平面； 当α=90°时，直线垂直于平面；

当0°＜α＜90°时，直线与平面斜交.

②最小角定理：直线与平面斜交，过斜足在平面内作直线，这些线与斜线所成角中射影与斜线所成角最小.

③cos?=cos?12cos?2.

④作法：作出直线和平面所成角，关键是作垂线，找射影. (2)二面角

①定义：由一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角.

②二面角的平面角：定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.

对概念的理解要注意：平面角的两边分别在二面角的两个半平面内；平面角的二边都和二面角的棱垂直.

③二面角平面角的求法：

直接法：所谓直接法即先作出二面角的平面角，经过证明后再进行计算，常用的直接法有三：

(a)利用平面角的定义； (b)利用三垂线定理； (c)过一点作棱的垂面.

S射影间接法：所谓间接法，就是不作出二面角的平面角，而利用公式cos?=S.此方法也叫射影法.也可利用两半平面法向量的夹角求二面角.

注意当直接作出二面角的平面角有一定难度时，一般才采用间接法求二面角大小. ④二面角的范围是0°≤?≤180°，可从两个半平面“重合”、“相交”和“共面”各种情况考虑，重合时?=0°；相交时，0°＜?＜180°；共面时，?=180°.

（3）两个平面垂直的判定

①定义：如果两相交平面所成二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直. 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，若两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直，它和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似.

②判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.即l????l????β⊥α.简言之，“线面垂直?面面垂直”. (4)两个平面垂直的性质

①如果两个平面互相垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角. ②性质定理：如果两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个

???,????l??a??,a?l??a⊥α.简言之，“面面垂直?线面垂直”. 平面.即

③如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点和另一个平面垂直的直线，必在此平

面内.

④如果一个平面和二个相交平面都垂直，那么它就和它们的交线垂直.

(5)从两个平面垂直的判定定理和性质定理中可看出，平面与平面的垂直问题可转化为直线与平面的垂直问题，即从线面垂直可推出面面垂直，反过来，由面面垂直又可推出线面垂直，这说明线面垂直与面面垂直之间有密切关系，可以互相转化.

二、重点难点突破

本节的重点是斜线在平面上射影的概念，斜线与平面所成角的概念，二面角的概念，两个平而垂直的判定定理.对于斜线在平面上的射影可通过具体作图具体体验，要注意O点选取的任意性及斜线在平面上的射影是直线不是线段，斜线与平面所成角要紧扣概念，了解范围.本节的难点是cos?=cos?12cos?2的灵活应用，二面角的平面角.对于二面角的平面角和平面中角的概念作类比，注意化归思想的应用，二面角的考查在1993至2004高考十一年间有十年都有涉及，是考试热点，应重视.

三、易错点和易忽略点导析 在求二面角时，忽略二面角的范围，用反三角函数表示角出现错误或确定平面角出现错误.

【例】 已知∠AOB=90°，过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、60°角测以OC为棱的二面角A-OC-B大小为________.

错解：如图9-7-1所示，在OC上取一点C，使OC=1.过C分别作CA⊥OC交OA于A，CB⊥OC交OB于B.

则AC=1，OA=2，BC=3，OB=2.

222

在Rt△AOB中，AB=OA+OB=6.

3在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ACB=-3. 33∴∠ACB=arccos3，即二面角A-OC-B为arccos3.

正确解法：如图9-7-1所示，在OC上取一点C，使OC=1，过C分别作CA⊥OC交OA于A，CB⊥OC交OB于B，则AC=1，OA=2，BC=3，OB=2.

3222

在Rt△AOB中，AB=OA+OB=6，得cos∠ACB=-3. 33∴∠ACB=π-arccos3.即二面角A-OC-B为π-arccos3.

?错解分析：混淆了二面角的范围[0，π]与异面直线所成角的范围(0，2]，且对于反三角函数的表示不熟悉.

【综合应用创新思维点拨】 一、学科内综合思维点拨 【例1】 已知D、E分别是正三棱柱ABC一A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D=2B1E=B1C1.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小.

思维入门指导：在图9-7-2上，过D、E、C1的面与棱柱底面只给出一个公共点C1，而没有画出它与棱柱底面所成二面角的棱，因此还需找出它与底面的另一个公共点，进而再求二面角的大小.

解：在平面M1B1B内延长DE和A1B1交于F，则F是面DEF与面A1B1C1的公共点，C1也是这两个面的公共点，连结C1F，C1F为这两个面的交线，所求的二面角就是D-C1F-A1.

∵A1D∥B1E，且A1D=2B1E，

∴E、B1分别为DF和A1F的中点. ∵A1B1=B1F=B1C1，∴FC1⊥A1C1.

又面AA1C1C⊥面A1B1C1，FC1在面A1B1C1内， ∴FC1⊥面AA1C1C.而DC1在面AA1C1C内，

∴FC1⊥DC1.∴∠DC1A1是二面角D-FC1-A1的平面角.

??由已知A1D=B1C=A1C1，∴∠DC1A1=4.故所求二面角的大小为4.

点拨：当所求的二面角没有给出它的棱时，可通过公理1和公理2，找出二面角的两个面的两个公共点，从而找出它的棱，进而求其平面角的大小.需要注意的是，若利用

S△A1B1C1cos?=△DEC求二面角的大小，作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理.

【例2】 设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=120°.求：

(1)直线AD与平面BCD所成角的大小； (2)异面直线AD与BC所成的角的大小； (3)二面角A-BD-C的大小.

思维入门指导：本题主要考查对空间三种角的“作一证一求”.在解题时要合理利用题中条件.

解：(1)如图9-7-3所示，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，则AH⊥平面DBC，连结DH，故∠ADH为直线AD与平面BCD所成的角.

1S

由题设知，△AHB≌△DHB，则DH⊥BH，AH=DH. ∴∠ADH=45°为所求. (2)∵BC⊥DH，且DH为AD在平面BCD上的射影，∴BC⊥AD，故AD与BC所成的角为90°. (3)过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知AR⊥BD，故∠ARH为二面角A-BD-C的平面角的补角.

31设BC=a，则由题设得AH=DH=2a，BH=2a，BD=BC=a.

3AH在△HDB中，求得HR=4a.∴tan∠ARH=HR=2. 故二面角A-BD-C的大小为π－arctan2.

点拨：本题是一道中档难度的立体几何综合题.这种试题命题的目的是考查立体几何重点知识，并且使之能覆盖较多的知识点.

二、应用思维点拨

【例3】 如图9-7-4所示，边长AC=3，BC=4，AB=5的三角形简易遮阳棚，其A，B是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角.试问：遮阳棚ABC与地面成多大角度时，才能保证遮影面ABD面积最大？

思维入门指导：太阳影子实质可理解为射影面积，从而本题可转化为二面角的有关问题进行探讨，那么首先应作出纯数学图形，结合图形进行分析求解.

解：易知△ABC为直角三角形，由C点引AB的垂线，垂足为Q，连结DQ，则应有DQ为CQ在地面上的斜射影，且AB垂直于平面CQD，如图9-7-5.

∵太阳光与地面成30°角，∴∠CDQ=30°.

12在△ABC中，可算得CQ=5，

在△CQD中，由正弦定理，有

QDCQ24sin30?=sin?QCD.即QD=5sin∠QCD.

为了使平面ABD的面积最大，需QD最大，这只有当∠QCD=90°时才可达到.从而∠CQD=60°.故当遮阳棚ABC与地面成60°角时，才能保证遮影面ABD面积最大.

点拨：从研究中可看出只有当遮阳棚所在平面与太阳光线垂直时，才能挡住最多的光线，被遮阳的地面面积才能获得最大值.利用这个结论，也很容易得出所求值为60°，参看图9-7-6.

三、创新思维点拨

【例4】 如图9-7-7，在四面体ABCD中，AB=AD=3，BC=CD=3，AC=10，BD=2.

(1)平面ABD与平面BCD是否垂直，证明你的结论； (2)求二面角A-CD-B的正切值；

(3)求异面直线BC与AD所成角的余弦值. 思维入门指导：(1)判断垂直需要寻找符合面面垂直判定定理的条件.(2)(3)求空间的角要先转化为平面相交直线所成角，然后进行求解.

解：(1)平面ABD⊥平面BCD.证明如下： 设BD的中点为E，连AE、CE. ∵AB=AD，∴AE⊥BD.同理CE⊥BD.

22∴AE=AB?BE=3?1=2， 22CE=BC?BE=9?1=22.

又AC=10，

222

∴AC=AF+CE. ∴∠AEC=90°. ∴AE⊥EC. 又AE⊥BD， ∴AE⊥平面BCD. 又AE?平面ABD，

∴平面ABD上平面BCD. (2)作EF⊥CD于F，连AF.

∵AE⊥平面BCD，由三垂线定理得，AF⊥CD， ∴∠AFE就是二面角A-CD-B的平面角，

2222ECEF=ED2sin∠EDF=ED2CD=133=3.

2AE223∴tan∠AFE=EF=3=2.

3即二面角A-CD-B的正切值为2.

11(3)解法一：取AB的中点M，AC的中点N，连MN、ME、NE.则ME∥2AD，MN∥2BC. ∴∠NME是异面直线BC与AD所成角或其补角.

13∵MN=2BC=2，

31ME=2AD=2，

101NE=2AC=2，

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