信号与系统王明泉1-8章完整答案(8)

d2dy(t)?4y(t)?4y(t)?2e?tu(t)???t? （1） 2dtdt设:y???t??a??t??b?u?t?,则y??t??a?u?t?y?t??at?u?t?将其代入式(1),得a?1?y??0???y??0???1,y??0???3?y?0???y?0???1,将初始条件代入y?t??yh?t??yp?t???C1?C2t?e?2t?2e?t 得：C1??1,

C2?3

所以全响应为：y?t??yh?t??yp?t????1?3t?e?2t?2e?t,2.5 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为

t?0

d2ddy(t)?3y(t)?2y(t)?x(t)?3x(t)，

dtdtdt2?t当激励为x(t)?eu(t)时，系统的完全响应为y(t)?(2t?3)e?t?2e?2t，t?0。试求其零输入响应、零

状态响应、自由响应和强迫响应。

?解：由全响应得初始条件y(0?)?1，y(0?)?3

（1）求零输入响应

2yzi(t)

特征方程为??3??2?0， 特征根为???1，???2

?t?2ty(t)?Ce?Cezizi1zi2所以

?ty??2Czi2e?2t zi(t)??Czi1eC?5，Czi2??4 ?代入初始条件y(0?)?1，y(0?)?3，解得zi1?t?2ty(t)?5e?4e,t?0 zi所以，

（2）求零状态响应

yzs(t)

yzs(t)?y(t)?yzi(t)?[(2t?3)e?t?2e?2t]?(5e?t?4e?2t)?(2t?2)e?t?2e?2t,t?0

（3）

2.6 已知某线性时不变系统的方程式为

dy(t)?3y(t)?2x(t)dtt?0

试求系统的冲激响应h(t)。

解：方程右端的冲激函数项最高阶数为?(t)，设

h??t??a??t??b?u?t?，

则有：h?t??a?u?t?，将其代入原系方程，得a?2,b??6

?h?0???h0??2?2而方程的齐次解为：hh?t??Ae?3t?h?t??2e?3tt?01'x(t)?2x(t) 22.7若描述系统的微分方程为

??t?0,将h?0???2代入，得A?2

y\(t)?3y'(t)?2y(t)?试求系统的阶跃响应。 解：由题可知：

1?1?h???t??3h??t??2h?t?????t??2??t?2由冲激匹配法设：h???t??a???t??b??t??c?u?t?所以：h??t??a??t??b?u?t?,h?t??a?u?t?,将其代入方程(1)得：a?b?121???????h0?h0?b????2所以：?1?h?0???h??0???a?2?又知h?t?的齐次方程为：a2?3a?2?0，特征根为：a1??2,a2??1所以齐次解：h?t??A1e?2t?A2e?t1????h0??-2A1-A2??2?1?h?0????A1?A22??A1?-1?，?3A?2?2?

3??所以：h?t????e?2t?e?t?u?t?2??阶跃响应：g?t??t?3???2???h?d???e?e???????2?t??u???d?? ?2.8已知某线性时不变(LTI)系统如题图2.8所示。已知图中h1(t)??(t?1)，h2(t)?u(t)?u(t?3)，

x(t)?u(t)?u(t?1),试求该系统的冲激响应h(t)。

题图2.8 解：利用系统串联与系统并联的冲激响应求解

h?t???1?h1?t??h1?t??h1?t???h2?t???1???t?1????t?1????t?1????u?t??u?t?1????u?t??u?t?1????u?t?1??u?t?2????u?t?2??u?t?3??

2.9 设系统的微分方程表示为y\(t)?5y'(t)?6y(t)?e?tu(t)，求使完全响应为Ceu(t)时的系统起始状态y(0_)和y'(0_)，并确定常数C。 解：引入微分算子，则原微分方程可变换为：

?t?p2?5p?6y?t???1??t?p?11??1?2?112则零状态响应为：yzs?t????t????????t?又由原

?p?1??p?2??p?3???????p?1p?2p?3??????1?1???e?t?e?2t?e?3t?u?t?2?2?微分方程知特征根为：?1??2,?2??3 所以：yzi?t??A1e?2t?A2e?3tt?0

1?1?全响应为：y?t??C1e?tu?t??yzi?t??yzs?t??A1e?2t?A2e?3tu?t???e?t?e?2t?e?3t?u?t?2?2?11所以：C?,A1?1,A2??22

1所以起始状态：y?0???yzi?0???A1?A2?21?y??0???yzi?0????2A1?3A2??2??2.10 已知某连续系统的微分方程为

y\(t)?5y'(t)?6y(t)?2x'(t)?6x(t)若系统的初始条件y(0?)?1和y'(0?)?0，输入信号

x(t)?(1?e?t)u(t)，求系统的零输入响应yzi(t)，零状态响应yzs(t)和完全响应y(t)。

（1）零输入响应yzi(t)满足方程

??y?zi(t)?5yzi(t)?6yzi(t)?0

其0?值

yzi(0?)?yzi(0?)?y(0?)?1 ??y?zi(0?)?yzi(0?)?y(0?)?0

方程特征根?1??2，?1??3，故零输入响应

yzi(t)?Czi1e?2t?Czi2e?3t

将初始值代入上式及其导数，得

yzi(0?)?Czi1?Czi2?1

y?zi(0?)??2Czi1?3Czi2?0

由上式解得Czi1?3，Czi2??2，所以

yzi(t)?3e?2t?2e?3t,t?0

（2）零状态响应yzs(t)是初始状态为零，且x(t)?(1?e)u(t)时，原微分方程的解，即yzs(t)满足方程

?t?t??y?zs(t)?5yzs(t)?6yzs(t)?2[?eu(t)?2?(t)]?6(1?e)u(t)

?t即

?t??y??6)u(t)?4?(t) zs(t)?5yzs(t)?6yzs(t)?(4e?及初始状态yzs(0?)?y?zs(0?)?0。先求yzs(0?)和yzs(0?)，由于上式等号右端含有?(t)，令

?y?zs(t)?a?(t)?r0(t)

积分(从??到t)得

y?zs(t)?r1(t) yzs(t)?r2(t)

??将y?zs(t)、yzs(t)和yzs(t)代入微分方程可求得a?4。对以上三式等号两端从0?到0?积分，并考虑到

?0?0?r0(t)dt?0，?r1(t)dt?0，可求得

0?0??y?zs(0?)?yzs(0?)?a?4 yzs(0?)?yzs(0?)?0

解上式，得y?zs(0?)?4，yzs(0?)?0。 对于t?0,微分方程可写为

?t??y?zs(t)?5yzs(t)?6yzs(t)?4e?6

不难求得其齐次解为Czi1e?2t?Czi2e?3t，其特解为2e?1。于是有

?tyzs(t)?Czi1e?2t?Czi2e?3t?2e?t?1

将初始值代入上式及其导数，得

yzs(0?)?Czi1?Czi2?3?0 y?zs(0?)??2Czi1?3Czi2?2?4

由上式可求得Czi1??3，Czi2?0，所以系统的零状态响应为

yzs(t)??3e?2t?2e?t?1,t?0

（3）全响应y(t)

y(t)?yzi(t)?yzs(t)?3e?2t?2e?3t??3e?2t?2e?t?1,t?0 ??2e?3t?2e?t?1,t?02.11已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，

当激励为e(t)时，其全响应为 y1(t)?[2e?3t?sin(2t)]u(t)]； ?2sin(2t)]u(t)]

当激励为2e(t)时，其全响应为 y2(t)?[e?3t求：(1)初始条件不变，当激励为 e(t?t0)时的全响应y3(t)，t0为大于零的实常数。 (2)初始条件增大1倍，当激励为0.5e(t)时的全响应y4(t)。

解：系统的全响应是由零输入响应和零状态响应组成的，零输入响应与系统的状态呈线性关系，零状态响

应与系统的输入呈线性时不变关系。

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