2014届江苏省如皋初级中学九年级新课结束考试数学试卷（带解析）(4)

∴OF为△ABE的中位线， ∴OF=AE=，即CF=DE=，

在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=则S阴影=S△DEC=××

=

．

，

考点：1.切线的判定2.扇形面积的计算．

7.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM?

（2）当t为何值时，△AMN的面积最大?并求出这个最大值．

【答案】（1）当t为4时，∠AMN=∠ANM；（2）当t=6时，S最大值=【解析】

试题分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程求得t值即可； （2）作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可．

试题解析：（1）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒． ∴AM=12﹣t，AN=2t ∵∠AMN=∠ANM ∴AM=AN，从而12﹣t=2t 解得：t=\秒，

∴当t为4时，∠AMN=∠ANM； （2）在Rt△ABC中 ∵AB=BC+AC ∴AB=13

如图，作NH⊥AC于H，

2

2

2

．

∴∠NHA=∠C=90°， ∵∠A是公共角， ∴△NHA∽△BCA ∴即：∴NH=

， ，

=﹣

t+

2

从而有S△AMN=（12﹣t）?∴当t=6时，S最大值=

．

，

考点：1.相似三角形的判定与性质2.二次函数的最值．

8.如图①，一条笔直的公路上有A、B、C三地，B、C两地相距150千米，甲、乙两辆汽车分别从B、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C、B两地．甲、乙两车到A地的距离y1、y2（千米）与行驶时间x（时）的关系如图②所示．根据图象进行以下探究：

（1）请在图①中标出A地的位置，并作简要的文字说明； （2）求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义；

（3）在图②中补全甲车的函数图象，求甲车到A地的距离y1与行驶时间x的函数关系式； （4）A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间． 【答案】（1）A地位置见图形，使点A满足AB：AC=2：3；

（2）点M表示乙车1.2小时到达A地；

（3）图像见解析，当0≤x≤1时，y1=﹣60x+60； 当1＜x≤2.5时，y1=60x﹣60； （4）两车可以同时与指挥中心用对讲机的时间为小时． 【解析】

试题分析：（1）作图后根据图示分析可知点A满足AB：AC=2：3；

（2）直接根据题意列式可求，乙车的速度150÷2=75千米/时，90÷75=1.2，所以点M表示乙车1.2小时到达A地；

（3）根据图象可知当0≤x≤1时，y1=﹣60x+60；当1＜x≤2.5时，y1=60x﹣60；

（4）根据“两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话”作为不等关系列不等式组，求解即可得到通话的时间范围，所以可求两车同时与指挥中心通话的时间为试题解析：（1）A地位置如图所示．使点A满足AB：AC=2：3；

小时．

（2）乙车的速度150÷2=75千米/时，90÷75=1.2，∴M（1.2，0）， 所以点M表示乙车1.2小时到达A地； （3）甲车的函数图象如图所示：

当0≤x≤1时，y1=﹣60x+60； 当1＜x≤2.5时，y1=60x﹣60； （4）据题意得

，解得

，解得，

小时．

，

∴两车可以同时与指挥中心用对讲机的时间为考点：一次函数的应用．

9.如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．

（1）求直线BD和抛物线的解析式．

（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．

（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）直线BD的解析式为：y=﹣x+3，抛物线的解析式为：y=x﹣4x+3； （2）满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）；

（3）在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）． 【解析】

试题分析：（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；

（2）首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N有3个；

（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S△PBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解．

试题解析：（1）∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣1，0），B（0，3）；

∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C（1，0）． 设直线BD的解析式为：y=kx+b，

∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上， ∴

，

2

解得k=﹣1，b=3，

∴直线BD的解析式为：y=﹣x+3．

设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3）， ∵点B（0，3）在抛物线上，

∴3=a×（﹣1）×（﹣3）， 解得：a=1，

∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x﹣4x+3； （2）抛物线的解析式为：y=x﹣4x+3=（x﹣2）﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）． 直线BD：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1， ∴M（2，1）．

设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MF=1， ∴△MCD为等腰直角三角形．

∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似， ∴△BND为等腰直角三角形． 如答图1所示：

2

22

（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O， ∴N1（0，0）；

（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上， ∵OB=OD=ON2=3， ∴N2（﹣3，0）；

（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上， ∵OB=OD=ON3=3， ∴N3（0，﹣3）．

∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）； （3）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．

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