固体物理第一二章习题解答(2)

现由倒空间劳厄方程出发，推导Blagg公式。

对弹性散射：k?k0。由倒格子性质，倒格矢Gh垂直于该 晶面族。所以，Gh的垂直平分面必与该晶面族平行。 由右图可知：Gh?2ksin??'h4??sin? (A)

'h又若G为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有：G由倒格子周期性： Gh?nGh?'?2?；若Gh不是该方向最短倒格失，d2?n （B） d比较（A）、（B）二式可得： 2dSin?＝n? 即为Blagg公式。 11. 求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。 解：每个惯用元胞中有八个同类原子，其坐标为： ?000?，　??11??11??11??111??331??313??133?0?，　?0?，　?0?，　??，　??，　??，　?? ?22??22??22??444??444??444??444?结构因子：Shkl??f?jej?imi2?huj?kvj?lwj??

????i?h?k?l?i?3h?3k?l?i?3h?k?3l?i?h?3k?3l???i??h?k?i??k?l?i??h?l??e?e?e2?e2e2?e2 ?f??1?e?

??前四项为fcc的结构因子，用Ff表示从后四项提出因子ei?(h?k?l)2

iShkl?Ff?f?ei?(h?k?l)2?1?e2hkli?(h?k)?ei?(h?l)?ei?(k?l)?Ff?Ffei?(h?k?l)2??2?h?k?l??i?h?k?l????Ff?1?e2?

??因为衍射强度I?S2hkl， S?F1?e2f???·1?e?i?(h?k?l)2???i?h?k?l??i?h?k?l????F?2?e2?e2?

??2f 用尤拉公式整理后：Shkl?2Ff?1?cos22????(h?k?l)? 2?2讨论：1、当h、k、l为奇异性数（奇偶混杂）时，Ff?0，所以Shkl?0； 2、当h、k、l为全奇数时，Sh?k?l?2Ff?2?(4f?)?32f?；

3、当h、k、l全为偶数，且h?k?l?4n（n为任意整数）时，

22Sh)?4?16f?2?64f?2 .k.l?2Ff(1?12222 当h、k、l全为偶数，但h?k?l?4n，则h?k?l?2?2n?1?时，

22 Sh.k.l?2F?(1?1)?0

3?2??证明第一布里渊区的体积为，其中V

12.

Vcc是正格子初基原胞的体积。

证明：根据正、倒格子之间的关系：

? b1?2?(a2?a3)2?(a3?a1)2?(a1?a2)，b2?；b3?

??????????? Vc是正格子初基原胞的体积，第一布里渊区的体积为就为倒格子原胞的体积，即

Vc?a1?a2?a3

???2????V?c???a2?a3?(a3?a1)?(a1?a2)?3?????2?　　???V?c3??2????a3?a2?a1a3?a2?a1?Vc?3????????第二章 习 题

1、已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成：U(r)??ab?，求： mnrr⑴ 晶体平衡时两原子间的距离；⑵ 平衡时的二原子间的互作用能；

⑶ 若取m=2，n=10，两原子间的平衡距离为3?，仅考虑二原子间互作用则离解能为4eV，计算a及b的值；

⑷ 若把互作用势中排斥项

?r?b改用玻恩－梅叶表达式?exp???，并认为在平衡时对互作用势能具rn?p?有相同的贡献，求n和p间的关系。

解：(1) 由U(r)??ab?U(r)?m?1?n?1?，平衡时：?amr?bnr?0， 得： 00mnrr?rr0n?m0 rbnbnn?1m?)。 ，化简后得：r0?(amamn?mmn?mn(2) 平衡时把r0表示式代入U(r)中：

ab?m?U(r0)???????mnbnn?bn?bn?()m()n?mamam5b1?10?()8 （3）由r0表示式得： 3?10aann?m?n?????am?b?mn?m。

若理解为互作用势能为二原子平衡时系统所具有的能量，由能量最小原理，平衡时系统能量具有极小值，且为负值；离解能和结合能为要把二原子拉开，外力所作的功，为正值，所以，离解能＝结合能＝－互作用势能，由U(r)式的负值，得：

4?1.6?10?19??ab ??102?1010(3?10)(3?10)化简为：6.4?10??ab?10?10?80 93?38略去第二项计算可得： a?7.2?10(4) 由题意得：?e?r0pJ?m2，　b?9.45?10?115J?m2

?brn *

r0b?lnrrbp? ln??0?lnb?nlnr0，nlnr0?0?ln，则： n?

pp?lnr0 又解：*式两边对r0求导，得： 可解得：r0?np

?pe?r0p?bnr?n?1，与*式比较得：

n1? r0p?B?e2?2、N对离子组成的Nacl晶体相互作用势能为：U(R)?N?n??。

4??0R??R⑴ 证明平衡原子间距为：R0n?1?4??0Bn； ?e2?Ne21⑵ 证明平衡时的互作用势能为：U(R0)??(1?)；

4??0R0n⑶ 若试验试验测得Nacl晶体的结合能为765kJ/mol，晶格常数为5.63?10-10m，计算Nacl晶体的排斥能的幂指数n，已知Nacl晶体的马德隆常数是?＝1.75。

?B?e2?证明：（1）由：U(R)?N???Rn?4??R??

0????e2?dU(R)?e2Bn??n?1?2??得：?N?B(?n)R?(?1)R??N??n?1?2? dR4??4??RR0??0??

dU(R) 令：

R得：R0n?1R?R0??e2Bn???0，即 N??4??R2Rn?1???0 000???4??0Bn。 ?e2 （2）把以上结果代入U(R)式，并把R取为R0，则：

??22B?e?e?1?????N U(R0)?N??1?? 11?4??02Bn(4??02Bn)n?14??(4??02Bn)n?1?4??0R0?n?0?e?e??e?若认为结合能与互作用能符号相反，则上式乘“－”。

N?e2（3）由（2）之结论整理可得：n? 2N?e?4??0R0U(R0)式中：N?6.0?10N，e?1.6?1023?19库仑，?0?8.85?10?12法/米

若题中R0为异种原子的间矩，则：R0?0.5?5.63?10?10m；

U(R0)??7.65?105J/molU（平衡时互作用势能取极小值，且为负，而结合能为正值）

马德隆常数：??1.75，将这些一致数据代入n的表达式中，则：

n?11??8.8 ?12?1054??0R0U(R0)4?3.14?8.85?10?2.82?10?7.65?101?1?N?e26.0?1023?1.75?2.56?10?383、如果把晶体的体积写成：V＝N?R3，式中N是晶体中的粒子数；R是最近邻粒子间距；?是结构因子，试求下列结构的?值：⑴fcc；⑵bcc；⑶NaCl；⑷金刚石。 解：取一个惯用元胞来考虑：

结构 fcc

V0 a3

N0 4

R0

?

2a 23a 2a 22 2bcc

a3

2

4332

NaCl 金刚石

a3 a3

8 8

1

3a 48332

4、证明：由两种离子组成的间距为R0的一维晶格的马德隆常数??2ln2。[已知ln2????1?n?1?n?11] n证明：由马德隆常数的定义：????j1，其中同号离子取“－”，异号离子取“＋”。 aj若以一正离子为参考点，则：

??2?1???......???131511??111??......??2????......?......? (A) 2n?12n??246?又由已知ln2????1?n?1?n?11，代入（A）式，则：??2ln2 nb，试证明在平衡间距rn5、假定由2N个交替带电荷为?q的离子排布成一条线，其最近邻之间的排斥势为

2Nq2ln2?1?下有：U?R0????1??。

4??0R0?n??B?q2?证明：由U(R)?N???Rn?4??R??，得：

0????q2?dU(R)?q2Bn??n?1?2???N?B(?n)R?(?1)R??N??n?1?2? dR4??4??RR0??0??

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