3. 下列积分计算正确的是（ A ）． x?xxA．?1e?e?12dx?0 B．?1e?e?x?12dx?0
C．?11-1xsinxdx?0 D．?(-1x2?x3)dx?0
4. 设线性方程组Am?nX?b有无穷多解的充分必要条件是（ D ）． A．r(A)?r(A)?m B．r(A)?n C．m?n D．r(A)?r(A)?n?x5. 设线性方程组?1?x2?a1?x2?x3?a2，则方程组有解的充分必要条件是（??x1?2x2?x3?a3A．a1?a2?a3?0 B．a1?a2?a3?0 C．a1?a2?a3?0 D．?a1?a2?a3?0
三、解答题
1．求解下列可分离变量的微分方程： (1) y??ex?y 答案：?e?y?ex?c （2）
dyxexdx?3y2
答案：y3?xex?ex?c
2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）y??23x?1y?(x?1)
答案：y?(x?1)2(12x2?x?c)
（2）y??yx?2xsin2x
答案：y?x(?cos2x?c)
3.求解下列微分方程的初值问题： (1) y??e2x?y,y(0)?0
11
C ）．
答案：ey?12ex?12
(2)xy??y?ex?0,y(1)?0 答案：y?1xx(e?e)
4.求解下列线性方程组的一般解：
?x?2x3?x4?0（1）?1??x1?x2?3x3?2x4?0
??2x1?x2?5x3?3x4?0答案：??x1??2x3?x4（其中x?x1,x2是自由未知量）
2?x3?x4?102?1??102?1??102A????11?32?????01?11?????01?1??2?15?3????0?11?1????000所以，方程的一般解为
?x?1??2x3?x4?x2?x3?x（其中x1,x2是自由未知量） 4
?2x1?x2?x3?x4?1（2）??x1?2x2?x3?4x4?2
??x1?7x2?4x3?11x4?5?x??1x64答案：?13?x??5545（其中x1,x是自由未知量）??x?35x73223?5x4?55.当?为何值时，线性方程组
?x1?x2?5x?3?4x4?2?2x?1?x2?3x3?x4?1 ?3x1?2x2?2x3?3x4?3??7x1?5x2?9x3?10x4??有解，并求一般解。
答案： ?x1??7x3?5x4?1??x2??13x3?9x（其中x1,x2是自由未知量）4?36．a,b为何值时，方程组
12
?1?1??0??
?x1?x2?x3?1??x1?x2?2x3?2?x?3x?ax?b23?1
答案：当a??3且b?3时，方程组无解； 当a??3时，方程组有唯一解； 当a??3且b?3时，方程组无穷多解。
7．求解下列经济应用问题：
（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(q)?100?0.25q2?6q（万元）, 求：①当q?10时的总成本、平均成本和边际成本； ②当产量q为多少时，平均成本最小？
答案：①C(10)?185（万元） C(10)?18.5（万元/单位）
C?(10)?11（万元/单位）
②当产量为20个单位时可使平均成本达到最低。
（2）.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)?20?4q?0.01q2（元），单位销售价格为p?14?0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少．
答案：当产量为250个单位时可使利润达到最大，且最大利润为L(250)?1230（元）。 （3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C?(q)?2q?40(万元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低．
解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 答案： ?C?100（万元） 当x?6（百台）时可使平均成本达到最低.
（4）已知某产品的边际成本C?(q)=2（元/件），固定成本为0，边际收益
R?(q)?12?0.02q，求：
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①产量为多少时利润最大？
②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 答案：①当产量为500件时，利润最大.
② ?L? - 25 （元）
即利润将减少25元.
14
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