备课资料 带电粒子在匀强磁场中运动轨迹的确定及多解问题教案(8)

【练3参考答案】解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧是

自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力

①

应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧

的圆心在CB

边或其延长线上。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆

半径为a按照牛顿定律有 ②

联立①②式得 ③

（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧

是所求的最小磁场区域的一个边界。

为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方 向与BA的延长线交角为θ（不妨设轨迹qpA如图所示图中，圆圆弧

）的情形。该电子的运动

的圆心为O，pq垂直于BC边，由③式知，

的半径仍为a，在D为原点、DC为x轴，AD为y轴

的坐标系中，P点的坐标这意味着，在周

为

范围内，p点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆

，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一

边界

因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周

和

所围成的，其面积为

【作业1参考答案】

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【练4参考答案】15．参考解答：

先设磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直xy平面向里，且无边界． 考察从粒子源发出的速率为v、方向与x轴夹角为θ的粒子，在磁场 的洛仑兹力作用下粒子做圆周运动，圆轨道经过坐标原点O，且与 速度方向相切，若圆轨道的半径为R，有

? qvBmvv2m （1）得 R? (2)

qBR

圆轨道的圆心O’在过坐标原点O与速度方向垂直的直线上，至

原点的距离为R，如图1所示．通过圆心 O’作平行于y轴的直线与圆轨道交于P点，粒子运动到P点时其速度方向恰好是沿x轴正方向，故P点就在磁场区域的边界上．对于不同人射方向的粒子，对应的P点的位置不同，所有这些P点的连线就是所求磁场区域的边界线．P点的坐标为

x＝—Rsinθ (3 ) y＝一R + Rcosθ (4)

这就是磁场区域边界的参数方程，消去参数θ，得 x2 +(y+R)2=R2 (5) 由（2）、（5）式得

mv2m2v2 x?(y?)?22 (6)

qBqB2这是半径为R圆心 O’’的坐标为（0，一R ) 的圆，作为题所要求的磁场区域的

边界线，应是如图 2 所示的半个圆周，故磁场区域的边界线的方程为

mv2m2v2)?22 x?0y?0 (7) x?(y?qBqB2若磁场方向垂直于xy面向外，则磁场的边界线为如图3示的半圆，磁场区

域的边界线的方程为

x2 +(y—R)2=R2 x?0 y?0 （8 )

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mv2m2v2或 x?(y?)?22 x?0 y?0 （9）

qBqB2证明同前

“带电粒子在磁场中的圆周运动”解析

处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，其本质是平面几何知识与物理知识的综合运用。重要的是正确建立完整的物理模型，画出准确、清晰的运动轨迹。下面我们从基本问题出发对“带电粒子在磁场中的圆周运动”进行分类解析。

一、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的基本型问题

找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛仑兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。

【例1】图示在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁场的磁感应强度为B；一带正电的粒子以速度V0从O点射入磁场中，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为θ；若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L。求①该粒子的电荷量和质量比

；②粒子在磁场中的运动时间。

分析：①粒子受洛仑兹力后必将向下偏转，过O点作速度V0的垂线必过粒子运动轨迹的圆心O’；由于圆的对称性知粒子经过点P时的速度方向与x轴正方向的夹角必为θ，故点P作速度的垂线与点O处速度垂线的交点即为圆心O’（也可以用垂径定理作弦OP的垂直平分线与点O处速度的垂线的交点也为圆心）。

由图可知粒子圆周运动的半径由有。再由洛仑兹力作

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向心力得出粒子在磁场中的运动半径为故有，解之

。

②由图知粒子在磁场中转过的圆心角为，故粒子在磁场中的运

动时间为。

【例2】如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B1＝2B2，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V0沿垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。（粒子重力不计）

分析：粒子在二磁场中的运动半径分别为，由粒子

在磁场中所受的洛仑兹力的方向可以作出粒子的运动轨迹如图所示。粒子从点O出发第6次穿过直线ab时的位置必为点P；故粒子运动经历的时间为

，而粒子的运动周期代入前式有。

粒子经过的路程。点O与P的距离为

。

二、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的范围型问题

寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系确定范围。

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