备课资料 带电粒子在匀强磁场中运动轨迹的确定及多解问题教案

（宽甸二高物理组整理） 使用说明：答案全面、教师备课资料、学生练习 各层次学生均可以练习知识理解、方法运用、题型归类、母子题对比

2015年12月

一、 确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。下面举例介绍几种确定带电粒子运动轨迹的方法。

一、对称法（单边界磁场的对称性、圆形边界匀强磁场的对称性、磁聚焦问题）

带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。

圆形控制磁场中，进场时粒子与半径夹角与出场时粒子与半径夹角始终相同。轨迹可能包络磁场圆心也可能不包络圆心，但是对称性不变。磁聚焦问题，圆形边界匀强磁场的半径与洛伦兹力作用下圆周半径相同的条件下，从同一点进场的速度大小相同方向不同的同一种粒子一定从同一点平行射出磁场，且具有可逆性，即平行进入磁场的方向平行的速度大小相同的同一种粒子一定汇聚在同一点。 利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。

例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？

1

例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。

例3．2014·洛阳一练如图K24-3所示，在圆形区域内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场，ab是圆的一条直径．一带正电的粒子从a点射入磁场，速度大小为2v，方向与ab成30°角时恰好从b点飞出磁场，粒子在磁场中运动的时间为t；若仅将速度大小改为v，则粒子在磁场中运动的时间为(不计带电粒子所受的重力)：( )

图K24-3

31

A．3t B.t C.t D．2t

22

例4．（2014·江西重点中学联考）如图K24-7所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场射入大量的带正电的粒子，且粒子所带的电荷量为q，质量为m.不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动，以下说法正确的是:( )

图K24-7

A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上

B．即使是对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线也不一定过圆心 C．对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中通过的弧长越长，时间也越长 qBR

D．只要速度满足v＝，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上

m

2

二、旋转圆法

在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。

例5．如图8所示，S为电子源，它在纸面360°度范围内发射速度大小为v0，质量为m，电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为mv0/qL，求挡板被电子击中的范围为多大？

例6．（2010全国新课程卷）如图10所示，在0≤x≤A．0≤y≤

范围内有垂

直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于

到a之间，从发射粒子到粒子全部离开

磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁

场的粒子从粒子源射出时的：

3

（1）速度大小；（2）速度方向与y轴正方向夹角正弦。

（改变）．2014·武汉二模如图K24-8所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的长方形区域中有

一磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外．O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象限内．已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边TT

界中飞出的粒子经历的时间为，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为.不计粒子的重力

124及粒子间的相互作用，则：( )

图K24-8

A．粒子射入磁场的速度大小v＝

2qBa

m

B．粒子做圆周运动的半径r＝2a b

C．长方形区域的边长满足关系＝3＋1

ab

D．长方形区域的边长满足关系＝2

a

三、缩放圆法

带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图12），利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。

4

例7．如图13所示，匀强磁场中磁感应强度为B，宽度为d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为θ，已知电子的质量为m，电量为e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围?

例8．（2010全国II卷）如图15所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为d，电压为U，两板间有匀强磁场，磁感应强度为B0，方面平行于板面并垂直纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。不计重力。

（1）已知这些离子中的离子甲到达边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量；

（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为3a/4，求离子乙的质量；

（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达？

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