§12-1 习题解答与模拟试题(2)

?x?y?z???__________ ?y?z?x答案：?1【见习题1】

(2)设函数f(x,y)连续可微分，而z?z(x,y)是由方程f?x???zy,y?z???0确定的隐函数，x?则x?z?x?y?z?y?________

分析：f(x,y)连续可微分就是它的偏导数都连续；既然说“z?z(x,y)是由方程

??zz?zz?f?x?,y???0确定的隐函数”，那就默认fz??x?,y???0【隐函数存在与可微定理

yx?yx???11的条件之一，见定理12?3】，即f1???f2??0。于是，

yx?f1??f2?????zfx??????11?xfz?f1??yxz??x2?f2??z?f1????2??f2?fy??z?y?， ????11?yfz?f1??f2?yxzy1xzx1yzy因此，

?z?x?z?yxf1????1yf1??zx1xf2??f2?yf2??1yf1??f1???f2?xf1??f2??yf2??f1??1xf2?f1?x?y

?1??1?11z?f2??f1???xy?f1??f2??y?x?x?y??z?xy ?11f1??f2?yx㈡ 选择题

(3)满足方程x2?y2?1的单值函数y?y(x)的个数是【 】 (A)0 (B)1 (C)2 (D)无穷多

注：题目对“单值函数y?y(x)”没有限制，

分析：可以有无穷多个函数y?y(x)满足方程x2?y2?1。若要求其中的隐函数y?y(x)必须是连续函数，那就只有两个是连续函数，即y??1?x2(?1?x?1)【第⑶题图】

y 1 y?1?x2

x

1 O

y??1?x2

第(3)题图

(4)设有三元方程xy?zlny?exz?1，根据隐函数存在与可微定理，存在点(0,1,1)的一个

邻域，在此邻域内该方程【 】

(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)

(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)z?z(x,y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)z?z(x,y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z)

分析：检查是否满足定理12?3的条件。实际上，方程xy?zlny?exz?1相当于定理12?3中的方程F(x,y,z)?xy?zlny?exz?1?0，于是，

（i）点(0,1,1)满足F(x,y,z)?0，即F(0,1,1)?0；

z（ii）Fx??y?exzz，Fy??x?，Fz???lny?exzx在点(0,1,1)近旁都连续。

y因为Fx?(0,1,1)?2?0，Fy?(0,1,1)??1?0，Fz?(0,1,1)?0，根据定理12?3，所以在点(0,1,1)的某一个邻域U1内，存在连续可微分的隐函数x?x(y,z)；在点(0,1,1)的某一个邻域U2内，也存在连续可微分的隐函数y?y(x,z)。因此，在点(0,1,1)的邻域U?U1?U2内，就存在两个连续可微分的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z)。选(D)

注：点(0,1,1)的两个邻域的交集U?U1?U2仍是点(0,1,1)的邻域。

(5)设函数y?y(x)由方程ylny?x?y?0确定，则曲线y?y(x)在点(1,1)近旁是【 】

(A)下凸的。 (B)上凸的。

(C)左边下凸且右边上凸的 (D)左边上凸且右边下凸的

分析：曲线y?y(x)的凸性就是函数y?y(x)的凸性，所以要研究二阶导数y??(x)在点

x?1近旁的符号。为此，令F(x,y)?ylny?x?y，则

Fx?(x,y)??1，Fy?(x,y)?lny?2，Fy?(1,1)?2?0

根据定理12?2，在点(1,1)近旁存在可微分的隐函数y?y(x)，满足：

ylny?x?y?0，y(1)?1且y?(x)??Fx?(x,y)?(x,y)Fy?1lny?2

18?0。因此，

于是，y??(x)??y?(x)y(lny?2)2??1y(lny?2)3；它在点x?1处连续且y??(1)??曲线y?y(x)在点(1,1)近旁是上凸的。

㈢ 解答题

(6)设x?y??(y)(?b?y?b)。若?(0)?0，??(y)连续且??(y)?1，证明：存在正数

?和唯一可微分函数y?y(x)，满足x?y(x)??[y(x)](???x??)且y(0)?0

分析与证明：方程x?y??(y)相当于定理12?2中的方程F(x,y)?x?y??(y)?0。验证定理12?2的条件都满足：点(0,0)满足F(0,0)?0；Fx?(x,y)?1和Fy?(x,y)??1???(y)都连续；Fy?(0,0)??1???(0)?0。根据定理12?2，存在可微分函数y?y(x)(???x??)，

满足F[x,y(x)]?0?x?y(x)??[y(x)]且y(0)?0

(7)设y?y(x),z?z(x)是由方程组?数，F具有连续偏导数。求

dzdx?z?xf(x?y)?F(x,y,z)?0确定的函数组，其中f(u)具有连续导

分析 根据题设，方程组有两个方程，它确定两个隐函数y?y(x)和z?z(x)，x是自变量.这里默认它满足隐函数存在性与可微性定理的条件。

解 在方程组中每个方程两端分别关于x求导数（记住y与z是函数），则

?dz???f?xf??1??dx?????F??Fdy??F??ydx?z??xdy??dx?dzdx①

?0②?F从②式解出

dydx???x??Fdz?zdx，再代入①式，则得 ?F?y??F?Fdz??F?Fdz????dz?zdx??f?xf??xf??x?zdx ?f?xf???1??x?F?Fdx?????y?y??于是，

??F?F?dz?F?F??F?Fdz?????xf?(f?xf)?xf (f?xf?)?xf????????y?zdx?y?x?ydx?y?x?zdx?????F?F(f?xf?)?xf?dz?y?x?从右边的等式可得

?F?Fdx?xf??y?z?Fdz??F【读者若采用简化记号，答案是z??(f?xf?)F2??xf?F1?F2??xf?F3?】

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