§12-1 习题解答与模拟试题

习题解答

1.设x?x(y,z),y?y(z,x),z?z(x,y)分别是由方程F(x,y,z)?0确定的隐函数。证明：?x?y?z?x等，不能看成商式!】 ????1 【说明偏导数的记号

?y?z?x?y注：认为定理12?3的条件都满足。特别，假若Fx?(x,y,z)Fy?(x,y,z)Fz?(x,y,z)?0 证 根据定理12?3，因为

?x?y??Fy?(x,y,z)Fx?(x,y,z)，

?y?z??Fz?(x,y,z)Fy?(x,y,z)，

?z?x??Fx?(x,y,z)Fz?(x,y,z)，

所以

?x?y?z????1 ?y?z?x?x?y?z?0?x?y?z?12222.设有方程组?。求

dxdz，

dydz

分析：方程组有两个方程，三个变量，所以确定两个一元隐函数，从题目最后看，z为自变

?x?x(z)?F1?x?y?z?0量，即确定函数组?。其次，所给方程组相当于定理12-4中的?，222F?x?y?z?1?0y?y(z)?2?根据定理12-4，由于

?F1?x?1,?F1?y?1,?F1?z?F1?y?F2?y?F1?y?F2?y??12z12x12y12y??2y?2z2y?2x??y?zy?x?1；

?F2?x?2x,?F1?y?2y,?F1?z?2z

因此，

?F1?z?F2dxdz???z?F1?x?F2?x

?F1?x?F2dydz???x?F1?x?F2?x?F1?z?F2112z12y??2z?2x2y?2x??z?xy?x2x?z???F11?y?F2?y2x

点评：本节的几个定理，都只有理论上的重要性，实际求由方程或方程组确定的隐函数的导数或偏导数时，并不用定理中给出的导数或偏导数公式！譬如此题，对于方程组中各个方程关于z求导数【注意z是自变量，而x?x(z)和y?y(z)都是函数】，则

?x??y??1?0?x??y???1?? ?????2xx?2yy?2z?0xx?yy??z??解方程组【用消元法或克拉默法则】，则得

dxdz?y?zx?y，

dydz?x?zy?x

?x?y?z?0dydzd2yd2z3.设有方程组?3。在点(1,1,?2)处，求 ,,,3322x?y?z?10dxdxdxdx?分析：同前一题一样，实际上不用定理12?4中的公式求导数，而仍用第11章中的做法【即直接对各个方程求导数】。

解 从题目最后看，是把y和z看成自变量x的函数。在方程组各个方程两端分别关于x求导数【记住y,z都是x的函数】，即

y??z??0?1?（※） ?222???3x?3yy?3zz?0代入点(1,1,?2)的坐标，则得

?1?y??z??0?y??z???1?? ?????3?3y?12z?03y?12z??3??求解最后这个方程组【用消元法或克拉默法则】，则得y???1，z??0

其次，在方程组（※）两端再求导数，即

y???z???0? ?2222???????6x?3[2y(y)?yy]?3[2z(z)?zz?0并代入点(1,1,?2)的坐标和??y???1?z??0，则得???34?????y?y???z???0?5，解得?4y???12z????12?z????5?

1?2d2xd2ydxdy?x?y2?z24.设有方程组?。在点(1,?1,2)处，求；2, ,22dzdzdzdz??x?y?z?2分析与解答：这一题与第3题的解法有点类似，不同的是这里把z看成自变量。请读者根据第3题的解题方法做一做。

答案：在点(1,?1,2)处，

dxdz?0,dydz??1,d2xdz21d2y1 ??,?4dz24?u?v?x?y?x 5.设有方程组?sinu。求du与dv ??sinvy?分析与解答：方程组有两个方程，四个变量，其中有两个变量是自变量，另两个是隐函数。从题目最后的要求看，变量u?u(x,y)与v?v(x,y)是隐函数。为了解题方便起见，将方程组改写成

?u?v?x?y??ysinu?xsinv

在方程组每个方程两端同时求微分，即

du?dv?dx?dy???sinudy?ycosudu?sinvdx?xcosvdv

整理成

du?dv?dx?dy? ??ycosudu?xcosvdv?sinvdx?sinudy用消元法或克拉默法则解方程组，譬如用克拉默法则，则

dx?dydu?sinvdx?sinudy1ycosu1?xcosv1?xcosv??(xcosv?sinv)dx?(xcosv?sinu)dy?xcosv?ycosu

?(xcosv?sinv)dx?(xcosv?sinu)dyxcosv?ycosu1dx?dysinvdx?sinudy1ycosu1?xcosv

dv?ycosu?(sinv?ycosu)dx?(sinu?ycosu)dy?xcosv?ycosu

?(ycosu?sinv)dx?(ycosu?sinu)dyxcosv?ycosu

6.设函数u?f(x,y,z)可微分，其中y?y(x)与z?z(x)由方程组

?y?exz ?xy?z?e所确定。求全导数

dudx

?y?exz分析与解答：方程组?xy有三个变量，两个方程，所以其中有一个变量是自变量【另两z?e?个变量是隐函数】，从题目最后的要求，把x看成自变量，方程组确定两个隐函数y?y(x)与

z?z(x)

把u?f(x,y,z)看成复合函数u?f[x,y(x),z(x)]，根据链式规则【即全导数公式】，

dudx??f?x?1??fdy?ydx??fdz?zdx（※）

dydz?y?exz?y?exz从方程组?与，代入式（※）就可以了。为此，在?xy求出xy两端关于x求导z?ez?edxdx??数，即

?dydz?xz??ez?x???yz?xy?dx??dx???dz?exy?y?xdy??yz?xz???dx???dxdzdxdydx①

②将②式代入①式，得

dy?dy?22 ?yz?xy?yz?xz?yz?xyz?xyz?dxdx?dx?dyyz(1?xy)dzyz(1?xy)yz(1?xz)解出，再代入②式得。把它们都代入式??yz?xz?dxdx1?x2yz1?x2yz1?x2yzdy（※），则得

dudx??f?x?yz(1?xy)?f1?xyz2?y?yz(1?xz)?f1?xyz2?z

?x?ucosv?z?z?7.设有方程组?y?usinv。求偏导数 ,?x?y?z?v?分析与解答：原方程组等价于方程组??x?ucosz，即原来那个方程组实际上是两个方程四

y?usinz?个变量，其中两个变量是自变量，另两个是隐函数。从题目最后看，x与y为自变量，z与u是隐函数。在??z?x?ucosz两端关于x求偏导数【注意，u和z是x的函数】，然后解出，即

y?usinz?x??1?????0????u?x?u?xcosz?usinzsinz?ucosz?z?x??z??sinz

?z?xu?x同理，在??z?x?ucosz两端关于y求偏导数，然后解出，即

y?usinz?y??u?z?0?cosz?usinz??zcosz?y?y??? ??u?z?yu?1?sinz?ucosz?y?y??8.设有方程组

?vx?y?(v)??(v)?u ????x?y?(v)??(v)?0证明：它确定的函数u?u(x,y)满足（偏）微分方程

?u?u???u??2u?2u??????0 ?认为? 22?x?y?y?x??x?y???x?y?2222注：此题选自[前苏]吉米多维奇著《数学分析习题集》第3429题【1963年被选为研究生入学试题之一】。

分析：方程组中有两个方程，四个变量；从题的要求看，x与y是自变量，u?u(x,y)与v?v(x,y)是函数。先把方程组转换为

?F1?vx?y?(v)??(v)?u?0 ???F?x?y?(v)??(v)?0?2要保证隐函数组??u?u(x,y)?v?v(x,y)的存在性与可微性，根据定理12?5，需要其中的函数?(v)和?(v)具有连续二阶导数，而且

?(F1,F2)?(u,v)??1v?y??(v)???(v)0y???(v)????(v)??[y???(v)????(v)]?0

可是在一般的习题集中【如上面指出的习题集】，都没有附加这些充分条件。读者做这类题时，默认这些条件都满足就行了。

证

?u?x??v?xx?v??y?(v)?v?v?v???(v)?v?[x??y?(v)???(v)]??x?x?x v?v?y?u?y?x?v?y??(v)?y??(v)?v?y???(v)?v?y??(v)?[x?y??(v)???(v)]??(v)

再求偏导数，即

?2u?x2?2u?2u???u???(v)?v???u??v?????(v)??， ?????x?y?x??y??x?x?x??x??x?2u???u???(v)?v???u??v?????(v)??， ?????y??y??y?y?y?x?y??x??y?y2于是，注意到

?2u?y?x??2u?x?y2，则

?2u?2u??2u??v?v?v?v?v?v?2u?2u??????(v)???(v)?0 ????(v)????x2?y2??x?y??x?y?y?x?x?y?x?y?y?x模拟试题

本节定理的一些结论，有时也会出现在考研试题数学一的试卷中。 ㈠ 填空题 (1)

设

xyz?ex?y?z?ln(e?x2?y2?z2)?0。在点(0,处，则

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