[解析版]广东省江门市2013届高三第一次模拟数学理试题(3)

（2）欲求m的值，需要先求奖金总额的期望值，要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额即可． 解答： 解：（1）设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有种不同的选法…（1分）， 种…（2分） 选出的3种商品中，没有家电的选法有所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为…（4分） （2）设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能的取值为0，m，3m，6m．（单元：元）…（5分） ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以同理，…（7分）…（8分）（9分） 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是…（12分）（列式（2分），计算1分） 由，解得m≤75…（13分） ……（6分） 所以故m最高定为75元，才能使促销方案对商场有利…（14分）． 点评： 本题考查古典概型、离散型随机变量的期望，以及运用互斥事件求概率的方法，同时考查期望的求法．属于中档题． 18．（14分）（2013?江门一模）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，，过A作AE⊥CD，垂足为E．F、G分别是CE、AD的中点．现将△ADE沿AE折起，使二面角D﹣AE﹣C的平面角为135°．

（1）求证：平面DCE⊥平面ABCE；

（2）求直线FG与面DCE所成角的正弦值．

考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 分析： （1）先证线线垂直，由线线垂直?线面垂直?面面垂直．

（2）作平面的垂线，得直线在平面内的射影，再在三角形中求解即可； 或利用向量的数量积公式，求直线向量与平面法向量夹角的余弦即为线面角的正弦． 解答： 解：（1）证明：∵DE⊥AE，CE⊥AE，DE∩CE=E，DE，CE?平面CDE，∴AE⊥平面CDE， ∵AE?平面ABCE，∴平面DCE⊥平面ABCE． （2）（方法一）以E为原点，EA、EC分别为x，y轴，建立空间直角坐标系 ∵DE⊥AE，CE⊥AE，∴∠DEC是二面角D﹣AE﹣C的平面角，即∠DEC=135°， ∵AB=1，BC=2，，∴A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），E（0，0，0），D（0，﹣1，1）． ∵F、G分别是CE、AD的中点，∴F∴=，，G， =（﹣2，0，0），（11分） 由（1）知是平面DCE的法向量， ， ， 设直线FG与面DCE所成角则故求直线FG与面DCE所成角的正弦值为． （方法二）作GH∥AE，与DE相交于H，连接FH， 由（1）知AE⊥平面CDE，所以GH⊥平面CDE，∠GFH是直线FG与平面DCE所成角． ∵G是AD的中点，∴GH是△ADE的中位线，GH=1，， ∵DE⊥AE，CE⊥AE，∴∠DEC是二面角D﹣AE﹣C的平面角，即∠DEC=135°， 222在△EFH中，由余弦定理得，FH=EF+EH﹣2×EF×EH×cos∠FEH∵GH⊥平面CDE，所以GH⊥FH，在Rt△GFH中，∴直线FG与面DCE所成角的正弦值为． ，∴，

点评： 本题考查面面垂直的判定及直线与平面所成的角．求直线与平面所成的角有两种思路：一是，通过作角﹣﹣证角﹣﹣求角；二是，利用向量数量积公式求解，直线向量与平面法向量夹角的余弦即为直线与平面所成角的正弦． 19．（14分）（2013?江门一模）已知椭圆C的中心在原点O，离心率（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆的上顶点为A，在椭圆C上是否存在点P，使得向量线AP的方程；若不存在，简要说明理由． 考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 探究型；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）设椭圆C的方程为，右焦点为．

与共线？若存在，求直

，由离心率焦点坐标可得及，再根据a=b+c，联立方程组解出即可； （2）假设椭圆C上是存在点P（x0，y0），使得向量与共线，由向量共线及点P在222椭圆上得方程组，解出可得点P坐标，进而可求得直线AP方程； 解答： 解：（1）设椭圆C的方程为， ∵椭圆C的离心率∵a=b+c，∴故椭圆C的方程为222，右焦点为， ． ，∴， （2）假设椭圆C上是存在点P（x0，y0），使得向量∵，，（1） ，∴与共线， ，即

又∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴（2）， 由（1）、（2）组成方程组解得，或， ∴P（0，﹣1），或， 当点P的坐标为（0，﹣1）时，直线AP的方程为y=0， 当点P的坐标为时，直线AP的方程为， 故椭圆上存在满足条件的点P，直线AP的方程为y=0或． 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及向量共线问题，考查学生分析问题解决问题的能力． 20．（14分）（2013?江门一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，?n≥2，3Sn﹣4、2an、2﹣Sn﹣1总成等差数列． （1）求Sn；

*k2k

（2）对任意k∈N，将数列{an}的项落入区间（3，3）内的个数记为bk，求bk． 考点： 数列的求和；数列的函数特性；等差关系的确定． 专题： 计算题；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （1）由已知可得4an=（3Sn﹣4）+（2﹣Sn﹣1），结合an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），可Sn与Sn﹣1的递推关系，构造等比数列{Sn﹣1}可求 （2）由（1）及an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），可求an，然后由，代入通项可得，k+2﹣log32＜n＜2k+2﹣log32，从而可求n的取值，进而可求bk， 解答： 解：（1）?n≥2，3Sn﹣4、2an、2﹣Sn﹣1总成等差数列， 所以，2×2an=（3Sn﹣4）+（2﹣Sn﹣1）…（1分） 因为an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），所以4（Sn﹣Sn﹣1）=（3Sn﹣4）+（2﹣Sn﹣1）， 即Sn=3Sn﹣1﹣2…（3分） 又因为a1=2，Sn﹣1﹣1≠0，，S1﹣1=1， 所以数列{Sn﹣1}是首项等于1，公比q=3的等比数列…（6分） ，即（2）由（1）得?n≥2，n=1时，2×3*n﹣2…（7分） …（8分） *=2×1=2=a1，所以，任意n∈N，，即3＜2×3kn﹣22k…（9分） 任意k∈N，由＜3…（11分），

（k＜log32+（n﹣2）＜2k，k+2﹣log32＜n＜2k+2﹣log32…（12分） 因为0＜log32＜1，所以“若学生直接列举，省略括号内这一段解释亦可”） n可取k+2、k+3、…、2k+1…（13分）， 所以bk=k…（14分） 点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解通项公式，解题时不要漏掉了对n=1时的项的检验 21．（14分）（2013?江门一模）已知

（x＞0，a是常数），

若对曲线y=f（x）上任意一点P（x0，y0）处的切线y=g（x），f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围． 考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用． 分析： 求出先求然后求出f'（x），再根据切点坐标，求出f'（x0）的值即为切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程；再将f（x）≥g（x）恒成立，转化为，记，利用导数研究其单调性和最值，然后分类讨论建立关于a不等式，解之即可求出a的取值范围． 解答： 解：依题意，…（1分）y0=f（x0），曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线为即直接计算得直接计算得f（x）≥g（x）等价于分） 记，则，所以…（2分）， …（3分） …（5分）， …（7…（8分） 若a+a≤0，则由h′（x）=0，得x=x0…（9分）， 且当0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0…（10分）， 所以h（x）在x=x0处取得极小值，从而也是最小值，即h（x）≥h（x0）=0，从而f（x）≥g（x）恒成立…（11分）． 若a+a＞0，取22，则，

且当x1≠x0时h′（x）＞0，h（x）单调递增…（12分）， 2所以当0＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0，与f（x）≥g（x）恒成立矛盾，所以a+a≤0…（13分）， 从而a的取值范围为﹣1≤a≤0…（14分） 点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了转化的思想，属于中档题．

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