[解析版]广东省江门市2013届高三第一次模拟数学理试题

2013年广东省江门市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（4分）（2013?江门一模）已知函数

定义域为M，g（x）=lnx定义域为N，则M∩N=

（ ）

{x|x≤1} {x|0≤x≤1} A．B． {x|0＜x≤1} C． {x|0＜x＜1} D． 考点： 交集及其运算． 专题： 计算题． 分析： 先分别求出函数的定义域，再进行交集运算即可． 解答： 解：∵1﹣x≥0?x≤1，∴M=（﹣∞，1]，N=（0，+∞），∴M∩N=（0，1]， 故选B 点评： 本题考查交集及其运算． 2．（4分）（2013?江门一模）在复平面内，O是原点，向量位），如果点A关于实轴的对称点为点B，则向量

对应的复数是2﹣i（其中，i是虚数单

对应的复数是（ ）

2+i A．﹣2﹣i B． ﹣2+i C． D． 1﹣2i 考点： 复数的代数表示法及其几何意义． 专题： 计算题． 分析： 先求出点A的坐标，再求出点A关于实轴的对称点为点B的坐标，可得向量对应的复数． 解答： 解：由题意可得点A的坐标为（2，﹣1），点A关于实轴的对称点为点B（2，1），则向量对应的复数是 2+i， 故选C． 点评： 本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，属于基础题． 3．（4分）（2013?江门一模）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（ ） 12 13 14 15 A．B． C． D． 考点： 系统抽样方法． 专题： 概率与统计． 分析： 由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an，由751≤an≤1000 求得正整数n的个数，即为所求． 解答： 解：由1000÷50=20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列， 且此等差数列的通项公式为an=8+（n﹣1）20=20n﹣12． 由 751≤20n﹣12≤1000 解得 38.2≤n≤50.6． 再由n为正整数可得 39≤n≤50，且 n∈Z，

故做问卷C的人数为12， 故选A． 点评： 本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题． 4．（4分）（2013?江门一模）如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（ ）

A． 72 B．3 6 C．2 4 D．1 2 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题． 分析： 通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可． 解答： 解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面三角形的一边长为6，底面三角形的高为：4，棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：3． 所以几何体的体积：=12． 故选D． 点评： 本题考查三视图视图能力与几何体的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力． 5．（4分）（2013?江门一模）在△ABC中，若，，

，则AC=（ A． B． C． D． 考点： 正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 由已知可先求出C，然后由正弦定理得，，代入即可求解 解答： 解：∵，，， ∴C= 则由正弦定理可得，

）

∴AC==4 故选D 点评： 本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础试题 6．（4分）（2013?江门一模）若x＞0、y＞0，则x+y＞1是x+y＞1的（ ） A．充分非必要条件 B． 必要非充分条件 充要条件 C．D． 非充分非必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 取特殊值得到反例，从而说明充分性不成立；利用不等式的性质加以证明，可得必要性成立．由此即可得到本题的答案． 解答： 解：先看充分性 22

可取x=y=，使x+y＞1成立，而x+y＞1不能成立，故充分性不能成立； 若x+y＞1，因为x＞0、y＞0，所以（x+y）=x+y+2xy＞x+y＞1 ∴x+y＞1成立，故必要性成立 综上所述，x+y＞1是x+y＞1的必要非充分条件 故选：B 点评： 本题给出两个关于x、y的不等式，求它们之间的充分必要关系，着重考查了不等式的基本性质和充分必要条件的证明等知识，属于基础题． 7．（4分）（2013?江门一模）已知x、y满足x+y=4，则z=3x﹣4y+5的取值范围是（ ） A．[﹣5，15] B． [﹣10，10] C． [﹣2，2] D． [0，3] 考点： 二次函数的性质；函数的值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域． 专题： 函数的性质及应用． 22分析： 把z=3x﹣4y+5变为直线 3x﹣4y+5﹣z=0，本题要求直线和圆 x+y=4有交点，根据圆心到直线的距离小于或等于半径，求得z的范围． 22解答： 解：z=3x﹣4y+5 即直线 3x﹣4y+5﹣z=0，由题意可得直线和圆 x+y=4有交点， 2222222222222

故有 ≤2，化简可得﹣10≤z﹣5≤10，解得﹣5≤z≤15， 故选A． 点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，待定系数法求直线的解析式，利用了数形结合及转化的思想，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键，属于基础题． 8．（4分）（2013?江门一模）设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）

2

=x﹣2x，则f（x）在区间[0，2013]内零点的个数为（ ） 2013 2014 3020 3024 A．B． C． D．

考点： 根的存在性及根的个数判断；奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由题意可求得函数是一个周期函数，且周期为2，故可以研究出一个周期上的函数图象，再研究所给的区间包含了几个周期即可知道在这个区间中的零点的个数 2解答： 解：f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，又x∈[0，1]时，f（x）=x﹣2x，要研究函数y=f（x）在区间[0，2013]零点个数，可将问题转化为y=f（x）与x轴在区间[0，2013]有几个交点，如图 由图知，f（x）在区间[0，2013]内零点分别是：，，，…，．共有2013个零点． 故选A． 点评： 本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数y=f（x）在区间[0，2013]的零点个数的问题转化为交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易． 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分35分．

9．（5分）（2013?江门一模）已知数列{an}的首项a1=1，若?n∈N，an?an+1=﹣2，则an= ．

考点： 数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由给出的递推式，取n=n+1得另一个式子，两式作比后可得：*

（n∈N），由此可得*数列的所有奇数项构成常数列，所有偶数项构成常数列，则数列的通项公式可求． 解答： 解：数列{an}中，由an?an+1=﹣2①，得：an+1?an+2=﹣2②， ②÷①得： （n∈N）， *∴数列{an}的奇数项和偶数项分别构成以1为公比的等比数列， 由a1=1，且an?an+1=2，得：．

∴数列{an}的通项公式为． 故答案为． 点评： 本题考查了数列的递推式，考查了由递推式求数列的通项公式，由数列的递推式求通项公式时，替换n的取值，由已知递推式得另一递推式，然后两式联立是求解该类问题常用的方法，此题是中档题． 10．（5分）（2013?江门一模）执行程序框图，如果输入a=4，那么输出n= 4 ．

考点： 程序框图． 专题： 图表型． 分析： 通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果． 解答： 解：如果输入的a是4，那么： 经过第一次循环得到p=14，q=4，n=2， 经过第二次循环得到p=18，q=16，n=3， 经过第三次循环得到p=22，q=64，n=4， 此时不满足p＞q，执行输出n=4， 故答案为：4．

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