31??1?1????????0a?1?12?=(Ab)
?0?0a?3b?2??r2?r1r3?2r1故有:
(1)
?1?131???a?3且b?2时,(Ab)=?02?12?
?0000???r(A)?r(Ab)?2?3,方程组有无穷多解.
?1?131??1?131???r3?2r2??,=a?1且b?4时(Ab)?00?12???????00?12?
?00?24??0000????? (2)
r(A)?r(Ab)?2?3,方程组有无穷多解.
得分 评阅人 七、计算题（共1小题，每小题12分，共12分）
用齐次线性方程组的基础解系表示如下线性方程组的全部解：
?x1?x2?x3?x4?0? ?x1?x2?x3?3x4?1
?2x?2x?4x?6x??1234?1解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换
0??1?1?11?1?1?110??r??rr???2r??002?41? (Ab)??1?11?31?????00?24?1??2?2?46?1?????2311?1?1?110???r3?r2?????002?41??000?00??
r(A)?r(Ab)?2?3,方程组有无穷多解.
r?1?1?110?1?1?1010.5?22??r??1?r22?41??????001?20.5? ?00?00??0000?0000??????x1?x2?x4?0.5 Ax?b的同解方程组为:?? 2x?0.5?4?x3?0.5????0?取x2?x4?0,，得一特解u0???
0.5??0????Ax?0的同解方程组为:?x1?????x3? 2x4x?x24
?x2??1??0?分别取:??0??及??1??, ??????x4??????1???1?????10原方程组对应的齐次方程组的一个基础解系为:v1???, v2???,
?0??2????0???1???????12??1???1???????010??????故原方程组的全部解为：u? ???12?c1?0?c2?2?????0???0???1????????其中，c1,c2为任意常数。
得分 评阅人 八、计算题（共1小题，每小题12分，共12分）
60??4??已知方阵A???3?50?，（1）求A的特征值及特征向量；
??3?61???（2）问A能否与对角矩阵相似，为什么？
（3）若A能与对角矩阵相似，求满足P?1AP=?的对角矩阵?及变换矩阵P 。
解:1)求A的特征值
??4?I?A?33?60??4?6??50?(??1)3??5
6??12?(??1)[(??4)(??5)?18]?(??1)(?2???2)????1????2?
所以A的全部特征值为?1??2?1,?3??2
2)求A的特征向量
将?1??2?1代入??I?A?x?0得方程组 ??3x1?6x2?0??3x1?6x2?0 对应的同解方程组为:x1??2x2 ?3x?6x?02?1解之得到此齐次方程组的基础解系
??2??0?????v1??1?,v2??0??0??1?????
将?3??2代入??I?A?x?0,得方程组的基础解系??6x1?6x2?0??3x1?3x2?0对应的同解线性方程组为: ?3x?6x?3x?023?1解之得到此齐次方程组的基础解系
?x1??x3 ??x2?x3??1???v3??1?.
?1???由于A有三个线性无关的特征向量v1,v2,v3, A可对角化.
??20?1???令 P??v1,v2,v3???101?
?011???则有:
?100??100??????1PAP??010?,即???010?
?00?2??00?2?????
得分 评阅人 九、证明题（共1小题，每小题5分，共5分）
设A为m ? n矩阵，B为n ? s矩阵，证明：如果AB = O, 那么秩(A) + 秩(B) ? n .
证明：记?1,?2,?,?s为B的列向量组，
即B?(?1,?2,?,?s)。由于AB?0可知A?i?0,i?1,2,?,s，也就是?1,?2,?,?s都是齐次方程组Ax?0的解。
若r(A)?r，则Ax?0的基础解系应有n?r个解向量，不妨令为v1,v2,?,vn?r，因为?1,?2,?,?s可由v1,v2,?,vn?r线性表出，
而?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?s的极大无关组可以相互线性表示, 故有?1,?2,?,?s的极大无关组可由v1,v2,?,vn?r线性表出. 由定理3.9知,r(B)?n?r. 即r(A)?r(B)?n
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