暨南大学线性代数07-08内cankao

暨南大学考试试卷答案及评分标准

2007 - 2008 学年度第 一 学期 教 课程名称：<<线性代数>>(经管内招生用) 师 考试方式 开卷[ ] 闭卷[√] 填 授课教师姓名：_________________ ___ 写 考试时间: 2008年1月11日 试卷类别(A、B) [ A ] 共9页 课程类别 必修[√] 选修[ ] 考 生 填 写 学院(校) 专业 班(级) 姓名 学号 内招[√] 外招[ ] 题 号 得 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得分 1. 若a15a42a3ja21ak4是五阶行列式aij的一项(除去符号),则有:( b ) (a) j=3,k=5,此项为正 (b) j=3,k=5,此项为负 (c) j=5,k=3,此项为正 (d) j=5,k=3,此项为正 2.已知n阶矩阵A为可逆阵,B为n?m阵,则有:( b )

(a) r(A)?r(AB) (b) r(B)?r(AB) (c) r(B?1评阅人 一、单选题（在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题目的括号内。共10小题，每小题2分，共20分）

)?r(AB) (d) r(A?1)?r(AB)

3. 下列行列式（ a ）的值必为零．

2(a) n阶行列式中，零元素个数多于n?n个；

(b) n阶行列式中，零元素个数小于n2?n个； (c) n阶行列式中，零元素个数多于n个； (d) n阶行列式中，零元素的个数小于n个．

4.以下向量组是线性无关的为（ c ） (a) 含零向量的向量组

(b) 向量组中有两个成比例的向量. (c) 向量组的秩等于向量组中向量的个数.

(d) 向量组的维数小于向量组的向量个数.

5.如果n阶方阵A与n阶方阵B相似，则下列结论不正确的是（ a ） (a) A与B有相同的特征矩阵 (b) A与B有相同的特征方程 (c) A与B有相同的行列式 (d) A与B有相同的特征值

6.已知一5元齐次线性方程组之系数矩阵A的秩为3,则下列结论不正确的为:( a )

(a) 此齐次线性方程组有2个基础解系. (b) 此齐次线性方程组有2个自由变量.

(c) 此齐次线性方程组的通解中有2个任意常数. (d) 此齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数为2.

7.不可对角化的矩阵为（ d ） (a)实对称矩阵 (b) 有n个不同特征值的n阶方阵

(c) 有n个线性无关的特征向量的n阶方阵 (d) 不足n个线性无关的特征向量的n阶方阵.

8.下列矩阵中不可逆矩阵为（ a ） (a) 奇异矩阵. (b) 满秩方阵

(c) 行列式值不为零的方阵 (d) 可以表成初等矩阵之积的方阵.

9.下列向量组是线性无关的为( b )

(a)有非零解的齐次线性方程组的系数方阵. (b)正交向量组 (c)单位向量组

(d)方阵A的特征值λ的特征向量组.

10.下列( d )为正定二次型. (a) f(x1,x2,x3)?x1?x3

22(b) f(x1,x2,x3)?x1?2x1x2?x3 (c) xAx的三阶矩阵A的特征值为2,3,-1

(d) f(x1,x2,x3)?3x1?6x1x3?x2?4x2x3?8x3 得分 评阅人 二、判断题（在题目的括号内填入对或错。共5小题，每小题2分，共10分）

22222T001.

010100100000?1 (正) 102. 若A与B是同阶方阵,则A2?B2?(A?B)(A?B) (错) 3.对于Am?n,Ax=0仅有零解的充要条件是行向量组线性无关. (错) 4.二次型xTAx经非退化线性替换x?Cy后变为yTBy,则A与B相似 (错) 5. 一个特征向量不能属于不同的特征值. (正) 得分 评阅人 三、填空题（将题目的正确答案填写在相应题目划线空白处。共5小题，每小题2分，共10分）

1.若Q是正交阵,则Q的行列式值为____1,或者 -1__________.

3.已知A是四阶方阵,A?3,则A*?__________.(An?1?33?27)

?x1?-3x34.若与五元齐次线性方程组Ax=0的同解方程组是?，则矩阵A的秩为

x?0?2__2_____；Ax=0的一个基础解系有___3___个解向量.

5.若λ=0是方阵A的一个特征值，则方阵A的行列式的值为 0 .

218.二次型f?x1,x2,x3??x12?2x1x2?2x3的规范形是y1?y2?y3.

222

得分 评阅人 四、计算题（共1小题，每小题10分，共10分）

1?a11111?a11计算行列式 D?

111?b11111?baar1?r211?a解:

r3?r400D111111?ar1?r3ab001100111111?a=ab00bb1111?b011011

11?b1111110?ar2?r1ab011011?b111100

1111?b11?ab(?a)0111r3?r1ab(?a)110111

111?b00?b?a2b2

得分 评阅人 五、计算题（共2小题，共13分）

??1?(1,0,?1)?(1) 判断向量组??2?(?2,2,0)是线性相关还是线性无关. (6分)

???(3,?5,2)?3TTT,?2,?3)进行初等(行)变换, 解1:对矩阵(?1?1?23??1?23??1?23???????2?5???02?5???02?5? ?0??10??0?25??00?20??????TTT?r(?1,?2,?3)?2?3,向量组线性相关.

1解2:0?220321?220?23?5?0,所以向量组线性相关. 5?5?0?122(2) 将二次型f?x??x12?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3化为标准型，并给出所用

的非退化线性替换矩阵. (7分)

22解:f?x??x12?2x1(x2?x3)?2x2?5x3?6x2x3

222?x1?2x1(x2?x3)?(x2?x3)2?(x2?x3)2?2x2?6x2x3?5x3 2222?(x1?x2?x3)2?x2?2x2x3?x3?2x2?6x2x3?5x3 22?(x1?x2?x3)2?x2?4x2x3?4x3

?(x1?x2?x3)2?(x2?2x3)2

?y1?x1?x2?x3?x1?y1?y2?y3??令:?y2?x2?2x3 即作非退化线性替换:?x2?y2?2y3 ?y?x?x?y33?3?3此二次型的标准型为:f?y1?y2

221??1?1??所用的线性替换矩阵为:C??01?2?(C?1?0)

?00?1??得分 评阅人 六、讨论题（共1小题，共8分）

?2x1?2x2?(a?3)x3?b??1有无穷多解? (不需求解) a,b为何值时,线性方程组?x1?x2?3x3??x?ax?4x?123?1

解:对增广矩阵进行初等行变换.

31??2?2a?3b?r1?r3?1?1??r1?r2???41? 31????????1a?1?1?2?2a?3b???1a?41?????

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