中国人民大学附属中学高考冲刺卷 doc1.1(2)

P 1 3 1 1 301026 ?????9分

(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ?????10分 事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，P(B)?113130?(3)?810. ?????13分

18. （共13分）

解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,??)， ?????????1分 当a?1时，f(x)?x?lnx，f?(x)?1?1x?1x?x ， ?????????2分

x (0,1) 1 (1,??)

f?(x) — 0 + ?????????3分

f(x) 极小

所以f(x)在x?1处取得极小值1. ?????????4分

（Ⅱ）h(x)?x?1?ax?alnx，

h?(x)?1?1?a2x2?a?ax?(1?a)?(x?1)[x?(1?a)]x?xx2x2?????????6分

①当a?1?0时，即a??1时，在(0,1?a)上h?(x)?0，在(1?a,??)上h?(x)?0， 所以h(x)在(0,1?a)上单调递减，在(1?a,??)上单调递增； ?????????7分 ②当1?a?0，即a??1时，在(0,??)上h?(x)?0，

所以，函数h(x)在(0,??)上单调递增. ?????????8分（III）在?1,e?上存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，即

在?1,e?上存在一点x0，使得h(x0)?0，即 函数h(x)?x?1?ax?alnx在?1,e?上的最小值小于零. ?????????9分

由（Ⅱ）可知

①即1?a?e，即a?e?1时， h(x)在?1,e?上单调递减， 所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e)?e?1?a2e?a?0可得a?e?1e?1，

22因为

e?1e?1?e?1，所以a?e?1e?1； ?????????10分

②当1?a?1，即a?0时，

h(x)在?1,e?上单调递增，

所以h(x)最小值为h(1)，由h(1)?1?1?a?0可得a??2； ?????????11分 ③当1?1?a?e，即0?a?e?1时， 可得h(x)最小值为h(1?a)， 因为0?ln(1?a)?1，所以，0?aln(1?a)?a

故h(1?a)?2?a?aln(1?a)?2

此时，h(1?a)?0不成立. ?????????12分 2综上讨论可得所求a的范围是：a?e?1a??2e?1或. ?????????13分

中国人民大学附属中学 高考冲刺卷 （理科数学试卷一） 6

19. （共14分）

22解：（Ⅰ）由已知可得e2?a?b1a2?4，所以3a2?4b2 ① ?????1分

又点M(1,3)在椭圆C上，所以192a2?4b2?1 ② ?????2分

由①②解之，得a2?4,b2?3. 故椭圆C的方程为

x24?y23?1. ?????5分

(Ⅱ) 当k?0时，P(0,2m)在椭圆C上，解得m??32，所以|OP|?3. ??6分

当k?0时，则由??y?kx?m,?x22

??4?y3?1.消y化简整理得：(3?4k2)x2?8kmx?4m2?12?0，

??64k2m2?4(3?4k2)(4m2?12)?48(3?4k2?m2)?0 ③ ?????8分

设A,B,P点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0)，则

x0?x1?x8km2??3?4k2,y0?y1?y2?k(x1?x2)?2m?6m3?4k2. ?????9分

由于点P在椭圆C上，所以 x2204?y03?1. ?????10分

22 从而

16km22?12m2?1，化简得4m2?3?4k2(3?4k)(3?4k2)2，经检验满足③式. ???11分

22 又|OP|?x20?y20?64km(3?4k2)2?36m2(3?4k2)2

229)?16k2 ?4m(16k??9(3?4k2)24k2?3

?4?34k2?3. ?????????12分

因为0?k?12332，得3?4k?3?4，有4?4k2?3?1， 故3?OP?132. ?????????13分

综上，所求OP的取值范围是[3,132]. ?????????14分

(Ⅱ)另解：设A,B,P点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0)， 由A,B在椭圆上，可得??3x21?4y21?12① ?????????6分 ?3x222?4y2?12②①—②整理得3(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0③ ?????????7分

????????????由已知可得OP?OA?OB，所以?x?1?x2?x0④?y⑤ ????????8分

?y12?y0由已知当k?y1?y2x ,即y1?y2?k(x1?x2) ⑥ ?????????9分

1?x2中国人民大学附属中学 高考冲刺卷 （理科数学试卷一）

7

把④⑤⑥代入③整理得3x0??4ky0 ?????????10分 与3x22290?4y0?12联立消x0整理得y0?4k2?3 ????????11分

由3x220?4y20?12得x240?4?3y0，

所以|OP|2?x20?y20?4?4y222330?y0?4?13y0?4?4k2?3 ????????12分

因为k?12，得3?4k2?3?4，有

334?4k2?3?1，

故3?OP?132. ?????????13分

所求OP的取值范围是[3,132]. ?????????14分

20. （共13分）

解：（1）根据题设中有关字母的定义，

k1?2,k2?1,k3?0,k4?1,kj?0(j?5,6,7?)

b1?2,b2?2?1?3,b3?2?1?0?3,b4?4,bm?4(m?5,6,7,?)

g(1)?b1?4?1??2g(2)?b1?b2?4?2??3,g(3)?b1?b2?b3?4?3??4,

g(4)?b1?b2?b3?b4?4?4??4,g(5)?b1?b2?b3?b4?b5?4?5??4.

（2）一方面，g(m?1)?g(m)?bm?1?n，根据“数列A含有n项”及bj的含义知bm?1?n，

故g(m?1)?g(m)?0，即g(m)?g(m?1) ① ???????7分 另一方面，设整数M?max?a1,a2,?,an?，则当m?M时必有bm?n， 所以g(1)?g(2)???g(M?1)?g(M)?g(M?1)??

所以g(m)的最小值为g(M?1). ???????9分 下面计算g(M?1)的值：

g(M?1)?b1?b2?b3???bM?1?n(M?1)

?(b1?n)?(b2?n)?(b3?n)???(bM?1?n)

?(?k2?k3???kM)?(?k3?k4???kM)?(?k4?k5???kM)???(?kM) ??[k2?2k3???(M?1)kM]

??(k1?2k2?3k3???MkM)?(k1?k2???kM) ??(a1?a2?a3???an)?bM ??(a1?a2?a3???an)?n

???????12分

∵a1?a2?a3???an?n?100 ， ∴g(M?1)??100, ∴g(m)最小值为?100. ???????13分

中国人民大学附属中学 高考冲刺卷 （理科数学试卷一） 8

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