高二数学直线方程人教版知识精讲

卢新生主讲

高二数学直线方程人教版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容： 直线方程

二. 重点、难点： 1. 两点间距离公式

P(x1,y1)，Q(x2,y2) |PQ|?(x1?x2)2?(y1?y2)2

2. 倾斜角?

0????180? 3. 斜率k

? （1）0????90?或90????180?时 k?tan ??90? k不存在

（2）P(x1,y1)，Q(x2,y2) PQ//y轴 kPQ?y2?y1

x2?x14. 直线方程：

（1）点斜式 y?y0?k(x?x0)（2）斜截式 y?kx?b（3）两点式

(??90?) (??90?)

y?y1x?x1?(??0?,90?)

y2?y1x2?x1xy（4）截距式 ??1 （??0?,90?，不过原点）

ab（5）一般式 Ax?By?C?0 （所有直线）

【典型例题】

[例1] 已知A(cos?,sin?),B(cos2?,sin2?)，求|AB|的最大值。

解：

|AB|?(cos2??cos?)2?(sin2??sin?)2

?2?2(cos2?cos??sin2?sin?)

?2(1?cos?)22∴??4k???(k?Z)时，|AB|max?2

[例2] 正?ABC中，A(2,0),B(4,2)，求C点坐标。

解：设C(x,y)

22?|AC|?|AB|??(x?2)?y?8?? ?22|BC|?|AB|?(x?4)?(y?2)?8???4sin2??2|sin?|?2

卢新生主讲

??x1?3?3??x2?3?3∴?或? ??y1?1?3??y2?1?3222222[例3] x1,x2...xn,y1,y2...yn?R，求证：x1?y1?x2?y2?...?xn?yn? (x1?...?xn)2?(y1?...?yn)2。

证：在直角坐标系xOy中

A1(x1,y1) A2(x1?x2,y1?y2)……An(x1?...xn,y1?...?yn)

...显然：|OA1|?|A1A2|??|An?1An|?|OAn|

222222即x?y?x?y?...?x?y?

1122nn(x1?x2?...?xn)2?(y1?y2?...?yn)2

[例4] 已知通过A（8，6）的四条直线的倾斜角之比为1:2:3:4，第二条直线过原点，求其余三条直线的倾斜角。

2?、3?、4? 解：设四条直线的倾斜角依次是?、∵0?4??180 ∴0???45

6?031? ∴tan??tan???3（舍） 8?0431324tan4??∴tan3??

97113243??arctan∴??arctan 4??arctan 397[例5] 过A(?3,?5)且在x轴，y轴上截距相等的直线方程。 法一：y?5?k(x?3)

∵tan2??k2??x?0 ??y?3k?5 ∴3k?5?法二：

5?3k?y?0? 5?x??3?k?5k1?3k2??1

xy??1 (?3,?5)代入a??8 aa即x?y?8?0

（2）过原点 5x?3y?0

3[例6] 直线l倾斜角为arcsin，若它与坐标轴围成三角形面积为6，求l的方程。

53?3) ∴tan?? 解：??arcsin?(0,5243设：l：y?x?b

44x?0,y?b,y?0,x??b

314S???|b|?|?b|?6 ∴b??3

23（1）

卢新生主讲

∴l：3x?4y?12?0

[例7] 直线l过点A(2,1)，交x、y轴正半轴于B、C，求使?OBC面积最小的直线l的方程。

解：k?0 y?1?k(x?2)

1?2k k11?2k1(1?2k)214k2?4k?1 S??|1?2k|?||???2k2|k|2?k111??[4(?k)??4]??[24?4]?4 2?k21k?? l：x?2y?4?0

2[例8] 已知三条直线x?y?2?0,x?ky?3?0,kx?y?4?0交于一点，求k。

x?0,y?1?2k y?0,x?2k?3?x???x?y?2?0?k?1??(k?1)代入l3 解：?x?ky?3?0?1??y??k?1?2k?3?1??4?0 ∴k?k?1k?12即：2k?7k?5?0

55k?或k?1（舍） ∴k?

22

[例9] 求证，无论k为任何直线：(2k?1)x?(k?3)y?(k?11)?0必过一定点。

解：由已知整理：k(2x?y?1)?(?x?3y?11)?0 ?2x?y?1?0?x?2∴? ????x?3y?11?0?y?3∴l过点（2，3）

[例10] 已知直线l：y?4x，和点P（6，4），在直线l上求一点Q。使直线PQ、l、x

轴在第一象限内围成的三角形面积最小。

解：设Q(a,b)，a?1

∴lPQ：

y?4x?6? b?4a?blPQ交x轴于M(x1,y1)

?4(a?6)?b，y1?0

b?41?4(a?6)?6)?b ∴S??(2b?424?4a?2a?(?6)

4a?410a210(a?1)2?20(a?1)?10?? a?1a?110?10(a?1)??20?2100?20?40

a?1∴x1?

卢新生主讲

∴Q（2，8）时，S?min?40 yQl0 Mx 【模拟试题】 1. 若a?b?0,a?c?0，则直线ax?by?c?0，不过第（ ）象限。 A. Ⅰ B. Ⅱ C. Ⅲ D. Ⅳ 2. 若直线(3a?2)x?(1?a)y?1?0不过第二象限，则a的取值范围为（ ） A. （0，1） C. (1,??)

B. (0,1] D. [1,??)

3. 下列说法不正确的是（ ）

A. 点斜式：y?y1?k(x?x1)适用于不垂直x轴的直线

B. 斜截式：y?kx?b适用于不垂直x轴的直线

y?y1x?x1适用于不垂直x轴的直线 ?y2?y1x2?x1xyD. 截距式：??1适用不过原点的直线

abC. 两点式：

4. 下列说法正确的是（ ）

y?y1?k过P(x1,y1)斜率为k的直线

x?x1B. 直线y?kx?b与y轴交于B(0,b)，其中b?|OB|

xyC. 在x轴、y轴上截距为a、b的直线方程为??1

abD. 方程(x2?x1)(y?y1)?(y2?y1)(x?x1)，表示过点P(x1,y1)，Q(x2,y2)的

A.

直线

5. 直线x?y?cos??1?0的斜率角?的取值范围是（ ）

3]?[?,?)

444?????3)?(,?] )?(,?] C. [0, D. [,224224 6. 过A（1，1）作l交直线2x?y?0，x?3y?3?0于M、N，点A为MN中点，求l的方程。

7. 过P(1,4)引直线l，使它在两坐标轴上截距均为正数，且两截距之和最小，求l的方

A. [?,3?] 4

B. (0,?程。

卢新生主讲

试题答案

1. A 2. D 3. D 4. D 6. 解：设M(a,b)，N(2?a,2?b) ?5. A

?2a?b?0?a??1?M(?1,2) ?????2?a?3(2?b)?3?0?b?2?N(3,0) ∴l：x?2y?3?0 7. 解：k?0

l：y?4?k(x?1)

x?0,y?4?k，y?0,x?k?4k 截距和S?4?k?k?4k?5?(?k)?4?k ∵k?0 ∴?k?0

∴S?5?24?9 ?k?4?k ∴l1：2x?y?6?0

∴k??2

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