高二数学训练题：圆锥曲线(2)(2)

因为

2218?e?32，所以23?a?32，12?a2?18. ??????11分

所以k2?，即k?(??,?24]?(24,??]. ??????12分

17解：（Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零 所以

x?2KPM?KPN?yx?1x?1?y??

y2整理得

??1（λ≠0，x≠±1） （3分）

（Ⅱ）①当??0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点） ②当?1???0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴 两个端点）

③当???1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点(－1，0)，(1，0) ④当???1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个 端点）

x?2

y2

?1 （7分）

（Ⅲ）当???2时，轨迹C的椭圆

2（x≠±1）

由题意知，l的斜率存在 ,设l的方程为y?kx?1，代入椭圆方程中整理得

(k2?2)x?2kx?1?02 （*）设A(x1,y1) B(x2,y2)，则x1，x2的方程（*）的两个实根

x1x2??1k2∴

x1?x2??2kk?2，

2?2

2

1（9分）

?12x1?x2∴

S?OAB?12AB?d?121?kx1?x2?

2k?12

?12(x1?x2)?4x1x2?124k22

?(k?2)1?4k2?2 （11分）

2?k(k22?1?2)2?2?(k2?1)?1k2??222

?1 当k＝0时，取“＝”

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2∴k＝0时，△OAB的面积取最大值为2． 18.解:(1)由于F1F2?2NF1,|F1F2|?2,

?2c?2?2?a?c)?2c?2(c??a2?b2?c2? （12分）

∴

2??a?2?2?b?1,解得?,

x2 ∴椭圆的方程是2?y2?1?????????????????5分

(2)∵NA??NB,∴A,B,N三点共线, 而N(?2,0),设直线的方程为y?k(x?2),(k?0),

?y?k(x?2)?22?x2k?1242?y?1y?y?2?0?22?xkk 由消去得:

??()?8?k由y1?y2?4k2k2422k2?12k?00?k?22????.7分 设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得

,解得2k2k22?1,y1y2?????1????11NA?NB(x1?2,y1)?(x2?2,y2)y1?y2333?1①,又由得:∴②.

4k?4y?22??32k?1?212k16812?y??222?2k?1 解得k=2???..12分 32k?1,消去y2得:3? 将②式代入①式得:

19. (1)设直线l的方程为：y?k?，联立方程可得?x2(k?0)22得:kx?(4k?4)x?4?0 ①设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(?x2?y?k??y?4x 4k?4k222k,0)，则x1?x2??，

x1?x2?4k2 ②,|MA|?|MB|?1?k|x1?0|?1?k|x2?0|?224(1?k)k22，

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而|MC|?(1?k|?222k?0|)?24(1?k)k22，∴|MC|2?|MA|?|MB|?0，

即|MA|，|MC|、|MB|成等比数列 ????7分

????????????????22(2)由MA??AC，MB??BC得，(x1,y1?2)??(?x1?,?y1)，(x2,y2?2)??(?x2?,?y2)

kk即得：???kx1kx1?2，???kx2kx2?2，则?????2kx1x2?2k(x1?x2)kx1x2?2k(x1?x2)?422

由(1)中②代入得?????1，故???为定值且定值为?1 ????13分 20．(1)解：由已知F1(1，0)，F2(－1，0) 2分 设M(x0，y0)，则y?4x0又

20|MF1|?53，则

53x0?1?53，得：

x0?23，y0??263 4分

又M在椭圆上，∴

2a?|MF1|?|MF2|??(23?1)?(?2263?0)2?4

x2∴a = 2，b2 = a2－c2 = 3 ∴椭圆方程为

4?y23?1 6分

2?x2y???1?43222222?y?kx?m(3?4k)x?8kmx?4m?12?0??(8km)?4(3?4k)(4m?12)?0?(2)解：由 得：, ①

设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则

x1?x2??8km3?4k2，

y1?y2?k(x1?x2)?2m?6m3?4k2 7分

2?x2y???1?412222222?y?kx?m(3?k)x?2kmx?m?12?0??(?2km)?4(3?k)(m?12)?0?由 得： ②

设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则

x3?x4??2km3?k2，

y3?y4?k(x2?x4)?2m?6m3?k2 8分

?????????DF?BE?(x4?x2，y4?y2)?(x3?x1，y3?y1)?(x3?x4?x1?x2，y3?y4?y1?y2)

由

?????????DF?BE?0?x3?x4?(x1?x2)?0?y?y?(y1?y2)?0得：?34?x3?x4?x1?x2?y?y?y?y，即?34122km?8km?2??3?4k23?k?6m6m??22?3?k∴?3?4k，解得：k = 0或m =

0 10分

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当k = 0时，由①②得：?23?m?23又m∈Z，∴m =－3，－2，－1，0，1，2，3

当m = 0时，由①②得：?3?k?3又k∈Z，∴k =－1，0，1∴满足条件的直线有9条．13分

21解：（Ⅰ）∵e?32， ∴a?2b,c?3b.

y?x?b?8b3b ∴A(,),B(0,?b). ?22255?x?4y?4b∵OA?OB??125 ∴?3b52??125 b?4 a?16.

22∴椭圆C的方程为

x216?y24?1. ????????????? 5分

y?x?c?2222222（Ⅱ）?22得?????0 b?ax?2acx?ac?b2222?bx?ay?abx1?x2?2aca?b222 ，y1?y2?2?2bca?b2222.

2acOA?OB=（

a2?b2?2?ac?2?bc?，2）, OP??2?. 2222a?b?a?ba?b??2bc222∵点P在椭圆C上 ，将点P坐标代入椭圆方程中得??a?b4c222.

∵b?c?a 0?e?222ca?1, 11414∴??2a?b4c222?2a?c4c222?2e2?? ,??12. ????? 13分

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