2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(全国卷I)真题(3)

所以，?AFG是二面角A?DE?C的平面角. 连接AG,AG=2,FG?DG2?DF2?6, 3AF2?FG2?AG21cos?AFG???,

2?AF?FG2所以，二面角A?DE?C的大小为120°.

解法二：

由m?DE,m?DC,得

m?DE?0，m?DC?0 故

?x?y2z???0,2y?0. 1??1??1??令x?2，则m?(2,0,??).

n?0,2???0,??2. 由平面DEC?平面SBC得m?n,m?故SE?2EB.

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知E??222??111??211?,,?,取DE中点F，则F?,,?,FA??,?,??, ?333??333??333?????????故FA?DE?0,由此得FA?DE.

????????????242 又EC?(?,,?),故EC?DE?0,由此得EC?DE,

333????????向量FA与EC的夹角等于二面角A?DE?C的平面角.

????????????????FA?EC1???, 于是 cos(FA,EC)?????????2FAEC所以，二面角A?DE?C的大小为120°.

【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知函数f(x)?(x?1)lnx?x?1.

（Ⅰ）若xf'(x)?x2?ax?1，求a的取值范围； （Ⅱ）证明：(x?1)f(x)?0 . 【答案】 （Ⅰ）f?(x)?x?11?lnx?1?lnx?， x? xf?(x)?xlnx?1,

题设xf?(x)?x2?ax?1等价于lnx?x?a. 令g(x)?lnx?x，则g?(x)?1?1 x1，g'(x)＞0；当x≥1时，g'(x)≤0，x?1是g(x)的最大值点， 当0＜x＜ g(x)≤g(1)??1 综上，a的取值范围是??1,???.

(Ⅱ)有（Ⅰ）知，g(x)≤g(1)??1即lnx?x?1≤0.

1时，f(x)?(x?1)lnx?x?1?xlnx?(lnx?x?1)≤0； 当0＜x＜当x≥1时，

f(x)?lnx?(xlnx?x?1)

1?1) x11 ?lnx?x(ln??1)

xx ≥0

?lnx?x(lnx?所以(x?1)f(x)≥0

【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知抛物线C:y2?4x的焦点为F，过点K(?1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D .

（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

????????8（Ⅱ）设FA?FB?，求?BDK的内切圆M的方程 .

9

所以点F(1,0)在直线BD上

（Ⅱ）由①知，

x1?x2?(my1?1)?(my2?1)?4m2?2

x1x2?(my1?1)(my2?1)?1.

uuruur 因为 FA?(x1?1,y1),FB?(x2?1,y2)，

uuruurFA?FB?(x1?1)(x2?1)?y1y2?x1x2?(x1?x2)?1?4?8?4m2

故 8?4m?解得 m??28， 94 3 所以l的方程为

3x?4y?3?0,3x?4y?3?0 又由①知 y2?y1??(4m)?4?4??247 3

【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想..

（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知数列?an?中，a1?1,an?1?c?1 . an（Ⅰ）设c?51，求数列?bn?的通项公式； ,bn?2an?2（Ⅱ）求使不等式an?an?1?3成立的c的取值范围 . 【答案】

用数学归纳法证明：当c?2时an?an?1. （ⅰ）当n?1时，a2?c?1?a1，命题成立； a1（ⅱ）设当n?k时，ak?ak?1，则当n?k?1时，

ak?2?c?11?c??ak?1. ak?1ak故由（ⅰ），（ⅱ）知当c?2时an?an?1.

c?c2?411?an?1??c得an??. 当c?2时，令??，由an?anan2当2?c?10时，an???3， 3当c?10时，??3，且1?an??， 3于是??an?1?11(??an)?(??an)， an?31(??1). 3n??1当n?log3时，??an?1???3,an?1?3.

??310因此c?不符合要求.

3??an?1?所以c的取值范围是?2，?.

3

【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.

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