交大版《离散的数学结构》标准答案

离散数学辅助教材

概念分析结构思想与推理证明

离散数学习题解答 习题六 （第六章 图论）

1．从日常生活中列举出三个例子，并由这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。

[解] ①用V代表全国城市的集合，E代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图G=（V，E）是全国铁路交通图。是一个无向图。

②V用代表中国象棋盘中的格子点集，E代表任两个相邻小方格的对角线的集合，则所成之图G=（V，E）是中国象棋中“马”所能走的路线图。是一个无向图。

③用V代表FORTRAN程序的块集合，E代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图G+（V，E）是FORTRAN程序的调用关系图。是一个有向图。 2．画出下左图的补图。

[解] 左图的补图如右图所示。

3．证明下面两图同构。

图G v1 1

v1′ v6 v6′ v2′ v5 v5′

[证] 存在双射函数?:V→V′及双射函数? : E→E′

? (v1)=v1′ ? (v2)=v2′ ? (v3)=v3′ ? (v4)=v4′ ? (v5)=v5′ ? (v6)=v6′

? (v1，v2)=(v1′，v2′) ? (v2，v3)=(v2′，v3′) ? (v3，v4)=(v3′，v4′) ? (v4，v5)=(v4′，v5) ? (v5，v6)=(v5′，v6′) ? (v6，v1)=(v6′，v1′) ? (v1，v4)=(v1′，v4′) ? (v2，v5)=(v2′，v5′) ? (v3，v6)=(v3′，v6′)

显然使下式成立：

? (vi，vj)=(vi,vj′)? ? (vi)=v i′∧? (vj)=vj′ (1≤i·j≤6) 于是图G与图G′同构。

4．证明（a），（b）中的两个图都是不同构的。 v1 v5 v2

G

G′

G

G′

v6 v8 v7 v4 v1? v5? v3 v2? v6? v8? v7? v3?

v3 v4?

v2 v1 v5v2? v4 v3? v1? v5 v4? 2

图G中有一个长度为4的圈v1v2v6v5v1，其各顶点的度均为3点，而在图G′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v1?，v5?，v7?，v3?不成长度的4的圈。

图G中′有四个二度结点，v6?，v8?，v4?，它们每个都和两个三度结点相邻，而G中一个区样的结点都没有。

在（b）中，图G?中有一2度结点v3?，它相邻的两个项点v2?，v4?的度均为4，而在图G中却没有这样的点。

5．一个图若同构于它的外图，则称此图为自补图。在满足下列条件的无向简单图中： 1) 给出一个五个结点的自补图；

2)有三个或一结点的自补图吗？为什么？

3）证明：若一个图为自补图，则它对应的完全图的边数不清必然为偶数。 [解] 1) 五个结点的自补图如左图G所示

同构函数? : V→V及? : E→E如下： ? (a)=a ? (b)=c ? (c)=e ? (d)=b ? (e)=d

?(a，b)=(a，c) ?(b，c)=(c，e) ?(c，d)=(e，d) ?(d，e)=(b，d) (e，a)=(d，a)

G

G

b c d a e

b

a

e

c d 2)（a）没有三个结点的自补图。因为三个结点的完备图的边数为3(3?1)=3为

2奇数，所以由下面3)的结论，不可能有自补图。

（b）有五个结点的自补图。1）中的例子即是一个五个结点的自补图。 3）证：一个图是一个自补图，则它对应的完全图的边数必为偶数。

3

因为若一个图G是自补图，则G∪G=对应的完全图，而且E∩E=φ，G现G同构，因此它们的边数相等，即|E|=|E|，因此对应的完全图的边数|E*|=|E|+|E|=2|E|，是偶数。

实际上，n个项点（n＞3）的自补图G，由于其对应的完全图的边数|E*|=

n(n?1)n(n?1)，因此有=2|E|，为偶数。这里n≥4。对于所有大于或等

22于4的正整数，都可表达成n=4k，4k+1，4k+2，4k+3的形式，这里k=1，2，?。其中只有n=4k，4k+1，才能使或4k+1形式，（k∈N）

6．证明在任何两个或两个以上人的组内，总存在两个人在组内有相同个数的朋友。

[证] 令上述组内的人的集合为图G的项点集V，若两人互相是朋友，则其间联以一边。所得之图G是组内人员的朋友关系图。显然图G是简单图，图中项点的度恰表示该人在组内朋友的个数，利用图G，上述问题就抽象成如下的图认论问题：在简单图G中，若|V|≥2，则在G中恒存在着两个项点，v1，v2∈V，使得它们的度相等，即deg(v1)=deg(v2)。其证明如下：

若存在着一个项点v∈V，使得deg(v)=0，则图G中各项点的度最大不超过n-2。因此n个项点的度在集合{0，1，2，?，n-2}里取值，而这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两个项点的度相同。

若不存在一个度为零的项点，则图G中各项点的度最大不超过n-1。因此n个项点的度在集合{1，2，?，n-1}中取值，这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两具项点的度相同。

7．设图G的图示如右所示： 1) 找出从A到F的所有初级路；

2）找出从A到F的所有简单路； 3）求由A到F的距离。 [解] 1）从A到F的初级路有7条

D E

F A B C n(n?1)为偶数，所以自补图的项点数只能是4k2P1 : (A，B，C，F)，P2 (A，B，C，E，F)，P3 : (A，B，E，F) P4 : (A，B，E，C，F)，P5 : (A，D，C，E，F)，P6 : (A，D，E，C，F) P7 : (A，D，E，B，C，F)。 2）从A到F的简单路有9条

除了上述1）中7条外，不有P8 : (A，D，E，C，B，E，F)

4

P9 : (A，D，E，B，C，E，F)。 3）从A到F的距离为3。

由图可看出，显然从A到F，一步不可能到达，二步也不可到达；但有长度为3的路，比如P1，P3，P5等能从A到F，故从A到F的距离为3。

8．在下面的图中，哪此是边通图？哪些是简单图？

（a） (b) (c)

[解] （1）图（2）与图（b）不连通，它们能分成两个边通支。所以只有图（c）是连

能图。

（2）图（c）是简单图，图为它显然无平等边，无自环。图（a）、（b）是多重图（a）有平行边（b）有自环。

9．求出所有具有四个结点的简单无向连通图。

[解] 在不同构的意义下，具有四个结点的简单无向连通图共有6个。

如下面所示： G1

G2 G2

G3

G4 G4

G5 G5

G6 G6

?lya定理得证。参见卢o（实际上，具有四个结点的简单图共有11个，这可由P?开澄的《组合数学一算法与分析》上册P241-P244）。 10．设G是一个简单无向图，且为（n，m）图，若

1m?(n?1)(n?2)

2证明G是连通图。

5

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