第30届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案(3)

L?r3?L?r?gsin??. (22) 22Lan??2由(19)、(20)、(21)、(22)式解得

评分标准：本题25分.

第1问5分， (2) 式1分， (6) 式2分，(7) 式1分，(8) 式1分；

第2问7分， (10) 式1分，(11) 式2分，(12) 式2分， (14) 式2分；不依赖第1问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分；

第3问13分，(16) 式1分，(17) 式1分，(18) 式1分，(19) 式2分，(20) 式2分，(21) 式2分，(22) 式2分，(23) 式1分，(24) 式1分；不依赖第1、2问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分. 4参考解答：

设在某一时刻球壳形容器的电量为Q. 以液滴和容器为体系，考虑从一滴液滴从带电液滴产生器 G出口自由下落到容器口的过程. 根据能量守恒有

T?N??L?r??3r?L?4L22L2mgcos? (23)

mgsin? (24)

?L?r??5L?3r?mgh?kQq1Qq. ?mv2?2mgR?kh?R2R(1)

式中，v为液滴在容器口的速率，k是静电力常量. 由此得液滴的动能为

1Qq(h?2R)mv2?mg(h?2R)?k. 2(h?R)R(2)

从上式可以看出，随着容器电量Q的增加，落下的液滴在容器口的速率v不断变小；当液滴在容器口的速率为零时，不能进入容器，容器的电量停止增加，容器达到最高电势. 设容器的最大电量为Qmax，则有

由此得

容器的最高电势为

mg(h?2R)?kQmaxq(h?2R)?0.

(h?R)R(3)

Qmax?mg(h?R)R.

kq(4)

Vmax?k由(4) 和 (5)式得

Vmax?Qmax (5) Rmg(h?R) q(6)

11

评分标准：本题20分. (1)式6分， (2) 式2分，(3) 式4分，(4) 式2分， (5) 式3分，(6) 式3分.

5参考解答：

1. 一个带电量为q的点电荷在电容器参考系S中的速度为(ux,uy,uz)，在运动的参考系S?中的速度

?,u??S中只存在磁场(Bx,By,Bz)?(?B,0,0)，因此这个点电荷在参考系S中所受为(uxy,uz). 在参考系磁场的作用力为

Fx?0,Fy??quzB, Fz?quyB(1)

?,Ey?,Ez?)又有磁场(Bx?,By?,Bz?)，因此点电荷q在S?参考系中所受在参考系S?中可能既有电场(Ex电场和磁场的作用力的合力为

??u????Fx??q?(ExyBz?uzBy),

??ux?Bz??uz?Bx?), Fy??q?(Ey?By??u??Fz??q?(Ez??uxyBx)(2)

两参考系中电荷、合力和速度的变换关系为

q??q, (Fx?,Fy?,Fz?)?(Fx,Fy,Fz),?,u??(uxy,uz)?(ux,uy,uz)?(0,v,0) (3)

由(1)、 (2)、 (3)式可知电磁场在两参考系中的电场强度和磁感应强度满足

??(uy?v)Bz??uzBy??0,Ex

??uxBz??uzBx???uzB,Ey??(uy?v)Bx??uyBEz??uxBy (4)

它们对于任意的(ux,uy,uz)都成立，故

?,Ey?,Ez?)?(0,0,vB),(Ex?,By?,Bz?)?(?B,0,0)(Bx (5)

可见两参考系中的磁场相同，但在运动的参考系S?中却出现了沿z方向的匀强电场.

2. 现在，电中性液体在平行板电容器两极板之间以速度(0,v,0)匀速运动. 电容器参考系S中的磁场会在液体参考系S?中产生由(5)式中第一个方程给出的电场. 这个电场会把液体极化，使得液体中的电场为

?,Ey?,Ez?)?(Ex?0(0,0,vB). (6) ?为了求出电容器参考系S中的电场，我们再次考虑电磁场的电场强度和磁感应强度在两个参考系之间的变换，从液体参考系S?中的电场和磁场来确定电容器参考系S中的电场和磁场. 考虑一带

12

电量为q的点电荷在两参考系中所受的电场和磁场的作用力. 在液体参考系S?中，这力(Fx?,Fy?,Fz?)如(2)式所示. 它在电容器参考系S中的形式为

Fx?q(Ex?uyBz?uzBy),

Fy?q(Ey?uxBz?uzBx), Fz?q(Ez?uxBy?uyBx)(7)

利用两参考系中电荷、合力和速度的变换关系(3)以及(6)式，可得

Ex?uyBz?uzBy?0,

Ey?uxBz?uzBx??uzB,Ez?uxBy?uyBx? (8)

?0vB?(uy?v)B?对于任意的(ux,uy,uz)都成立，故

(Ex,Ey,Ez)?(0,0,(?0?1)vB), (9) ?(Bx,By,Bz)?(?B,0,0)可见，在电容器参考系S中的磁场仍为原来的磁场，现由于运动液体的极化，也存在电场，电场强度如(9)中第一式所示.

注意到(9)式所示的电场为均匀电场，由它产生的电容器上、下极板之间的电势差为

V??Ezd.

(10)

由(9)式中第一式和(10)式得

0?V???1??vBd.

????(11)

评分标准：本题25分.

第1问12分， (1) 式1分， (2) 式3分， (3) 式3分，(4) 式3分，(5) 式2分；

第2问13分， (6) 式1分，(7) 式3分，(8) 式3分， (9) 式2分， (10) 式2分，(11) 式2分. 6参考解答：

设弯成的圆弧半径为r，金属片原长为l，圆弧所对的圆心角为?，钢和青铜的线膨胀系数分别为

?1和?2，钢片和青铜片温度由T1?20?C升高到T2?120?C时的伸长量分别为?l1和?l2. 对于钢

片

(r?d)??l??l1 (1) 2 ?l1?l?1(T2?T1) (2) 式中，d?0.20 mm. 对于青铜片

(r?d)??l??l2 (3) 2

13

?l2?l?2(T2?T1) (4) 联立以上各式得 r?

评分标准：本题15分. (1)式3分， (2) 式3分，(3) 式3分，(4) 式3分， (5) 式3分.

7参考解答：

1. 考虑射到劈尖上某y值处的光线，计算该光线由x?0到x?h之间的光程??y?. 将该光线在介质中的光程记为?1，在空气中的光程记为?2. 介质的折射率是不均匀的，光入射到介质表面时，在x?0 处，该处介质的折射率n?0??1；射到x处时，该处介质的折射率n?x??1?bx. 因折射率随x

2?(?1??2)(T2?T1)d?2.0?102 mm (5)

2(?2??1)(T2?T1)线性增加，光线从x?0处射到x?h1（h1是劈尖上y值处光线在劈尖中传播的距离）处的光程?1与光通过折射率等于平均折射率

111 n??n?0??n?h1????1?1?bh1??1?bh1 (1) ??222的均匀介质的光程相同，即

1 ?1?nh1?h1?bh12 (2)

2忽略透过劈尖斜面相邻小台阶连接处的光线（事实上，可通过选择台阶的尺度和档板上狭缝的位置来避开这些光线的影响），光线透过劈尖后其传播方向保持不变，因而有

于是

?2?h?h1 (3)

1 ??y???1??2?h?bh12. (4)

2由几何关系有 故

h1?ytan?. (5)

??y??h?y2tan2?. (6)

从介质出来的光经过狭缝后仍平行于x轴，狭缝的y值应与对应介质的y值相同，这些平行光线会聚在透镜焦点处.

b2

14

对于y?0处，由上式得

d(0)=h. (7)

y处与y?0处的光线的光程差为

??y????0??b22ytan?. (8) 2由于物像之间各光线的光程相等，故平行光线之间的光程差在通过透镜前和会聚在透镜焦点处时保持不变；因而(8)式在透镜焦点处也成立. 为使光线经透镜会聚后在焦点处彼此加强，要求两束光的光程差为波长的整数倍，即 由此得

y?2k?cot??Ak,bA?2?cot?. (10) b

b22ytan??k?,k?1,2,3,?. (9) 2除了位于y=0处的狭缝外，其余各狭缝对应的y坐标依次为

A,2A,3A,4A,?. (11)

2. 各束光在焦点处彼此加强，并不要求(11)中各项都存在. 将各狭缝彼此等距排列仍可能满足上述要求. 事实上，若依次取k?m,4m,9m,?，其中m为任意正整数，则

ym?mA,y4m?2mA,y9m?3mA,?. (12)

这些狭缝显然彼此等间距，且相邻狭缝的间距均为mA，光线在焦点处依然相互加强而形成亮纹. 评分标准：本题20分.

第1问16分， (1) 式2分， (2) 式2分， (3) 式1分，(4) 式1分，(5) 式2分， (6) 式1分，(7) 式1分，(8) 式1分， (9) 式2分， (10) 式1分，(11) 式2分； 第2问4分，(12) 式4分（只要给出任意一种正确的答案，就给这4分）. 8参考解答：

1. 设碰撞前电子、光子的动量分别为pe（pe?0）、p?（p??0），碰撞后电子、光子的能量、

?,pe?,E??,p??. 由能量守恒有 动量分别为Ee

由动量守恒有

Ee+Eg=Ee￠+Eg￠.

?cos??p??cos?,pe?p??pe?sin??p??sin?.pe.

(1)

(2)

式中，?和?分别是散射后的电子和光子相对于碰撞前电子的夹角. 光子的能量和动量满

足

电子的能量和动量满足

222Eg=pgc,Eg￠=pg￠c.

2422224(3)

??pe?c?mec (4) Ee?pec?mec，Ee15

由(1)、(2)、(3)、(4)式解得 E???24E?Ee?Ee2?mecEe?E????E???E?mc2e24e?cos? (5)

[

由(2)式得

?2c2?p??2c2?(pec?p?c)2?2p??c(pec?p?c)cos? pe

??此即动量p、pe和pe?p?满足三角形法则. 将(3)、(4)式代入上式，并利用(1)式，得

22424 (Ee?E??2E??)(Ee?E?)?Ee?E?2?2E?Ee2?mec?2E??E?cos??2E??Ee2?meccos?

此即(5)式. ]

当??0时有

E???24E?Ee?Ee2?mec?E?e?E?mc2e24e??2E? (6)

?2. 为使能量从电子转移到光子，要求Eg￠>Eg. 由(5)式可见，需有

E???E??242E?(Ee2?mec?E?)(1?cos?)24Ee?E??E??Ee2?meccos?

??? ?02E?(E?mc?E?)(1?cos?)24Ee?Ee2?meccos??E?(1?cos?)2e24e此即

注意已设pe>0、pg<0.

3. 由于Ee??mec2和Ee??E?，因而pe?p???p?，由(5)式可知p????p?，因此有??0. 又

将(8)式代入(6)式得

代入数据，得

评分标准：本题20分.

第1问10分， (1) 式2分， (2) 式2分， (3) 式2分，(4) 式2分，(5) 或(6)式2分； 第2问5分，(7) 式5分；

第3问5分，(8) 式2分， (9) 式1分， (10) 式2分.

24mecE?mc?Ee?.

2Ee2e24e24Ee2?mec?E? 或 pe?p?

(7)

(8)

Eg￠?2EeEg242Eg+mec2Ee. (9)

Eg￠?29.7′106eV.

(10)

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