2009年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）（数学理） 有答(3)

由2?2?1?1;22?2?2?1;23?2?3?1;24?2?4?1;25?2?5;K2?2n?1.证明如下： 可猜想当n?3时，n

证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。

（2）假设n?k?1时2k?1?2g2k?2(2k?1)?4k?2?2(k?1)?1?(2k?1)?2(k?1)?1 所以当n?k?1时猜想也成立

综合（1）（2）可知 ，对一切n?3的正整数，都有2n?2n?1. 证法2：当n?3时

2?(1?1)?Cn?Cn?Cn?K?Cnnn012n?1?Cn?Cn?Cn?Cnn01n?1?Cn?2n?2?2n?1

n综上所述，当n?1,2时Tn?5n2n?1，当n?3时Tn?5n2n?1

20题。本小题主要考察抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行

推理运算的能力。（14分） 解：依题意，可设直线MN的方程为x?my?a,M(x1,y1),N(x2,y2)，则有

M(?a,y1),N(?a,y2)

?x?my?a由?2消去x可得y2?2mpy?2ap?0?y?2px来源

?y1?y2?2mp从而有? ①

?y1y2??2ap2于是x1?x2?m(y1?y2)?2a?2(mp?a) ②

又由y1?2px1，y1?2px2可得x1x2?（Ⅰ）如图1，当a?此时M1(?P222(y1y2)4p22?(?2ap)4p22?a ③

p22p2时，点A(P2p2,0)即为抛物线的焦点，l为其准线x??2

,y1),N1(?,y2),并由 ①可得y1y2??p

uuuuvuuuv证法1：QAM1?(?p,y1),AN1?(?p,y2)

uuuuvuuuv222?AM1?AN1?p?y1y2?p?p?0,即AM1?AN1

QKAM1??y1p,KAN1??y2,p

证法2：

?KAM1?KAN1?y1y2p2??pp22??1,即AM1?AN1.

(Ⅱ)存在??4，使得对任意的a?0，都有S22?4S1S3成立，证明如下： 证法1：记直线l与x轴的交点为A1,则OA?OA1?a。于是有 S1?S2?S3?211?MM1?A1M1?（x1?a)y122121?M1N1?AA1?ay1?y2

1?NN1?A1N1?（x2?a)y2222?S2?4S1S3?(ay1?y2)?(x1?a)y1?(x2?a)y2?a[(y1?y2)?4y1y2]?[x1x2?a(x1?x2)?a]y1y2222

将①、②、③代入上式化简可得

a(4mp?8ap)?2ap(2amp?4a)?4ap(mp?2a)

2上式恒成立，即对任意a?0,S2?4S1S3成立

22222222证法2：如图2，连接MN1,NM1,则由y1y2??2ap,y1?2px1可得

KOM?y1x1?2py1?2py2y1y2?2py2?2ap?y2?a?KON1,所以直线MN1经过原点O，

同理可证直线NM1也经过原点O

又OA?OA1?a设M1A1?h1,N1A1?h2,MM1?d1,NN1?d2,则

S1?12d1h1,S2?12?2a(h1?h2)?a(h1?h2),S3?12d2h2.

（2）当b?1时，函数y?f?(x)得对称轴x=b位于区间[?1,1]之外 此时M?max{g(?1),g(1),g(b)}

由f?(1)?f?(?1)?4b,有f?(b)?f?(?1)?(bm1)2?0

① 若?1?b?0,则f?(1)?f?(-1)?f?(b),?g(-1)?max{g(?1),g(b)} 于是M?max{f?(?1),f?(b)}?12(f?(1)?f?(b))?12(f?(1)?f?(b))?12(b?1)

2② 若0?b?1，则f?(=1)?f?(1)?f?(b)，?g(1)?max{g(?1),g(b)} 于是

M?max{f?(?1),f?(b)}?12(f?(?1)?f?(b))?1212(f?(?1)?f?(b))?12(b?1)?212

综上，对任意的b、c都有M?12

1212而当，b?0,c?时，g(x)??x2?在区间[?1,1]上的最大值M?1

故M?K对任意的b，c恒成立的k的最大值为

2

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