“情系母校”之学习经验介绍

“情系母校”之学习经验介绍

清华大学数理基础科学专业58班 杜升华

母校沈阳二中的各位老师和同学们：

大家好！我很高兴以二中校友和清华大学学生的身份重返母校，来开展“情系母校”活动。“情系母校”一项定位于“回报母校，宣传清华，展示清华”的志愿者社会实践活动。这项活动虽然是由清华大学团委和招生办主办的，但并不是学校下达的任务，而是我们自愿报名参加的。今天活动的主题是“回报母校”，由我来向大家介绍一些学习经验。

我的名字大家可能已经听说过了，—— “升华”就是固态物质直接变成气态的意思——不过我想还有必要做个简单的自我介绍：我曾是沈阳二中055班学生，在校期间没担任过什么干部，只当了三年的数学课代表；2005年取得清华大学理科自主招生对象资格；同年被评为辽宁省优秀学生；2005年3月3日被批准为中共预备党员，次年转正；高考成绩为668分（含加分10分）——关于这个成绩的名次，准确的说法是，沈阳市第三名，只不过考得比我好的两位都是复读生；现为清华大学数理基础科学专业58班——简称基科58班——的学生，担任高等微积分课代表，延续着高中的职务；2006年6月起任班级学习委员。

先作几点说明。今天我要讲的，是学习经验，而非应试技巧，不要把考试当作学习的全部；是概括的心得体会，而非具体的学习方法。学习方法各有不同，但无论怎样学习，只要抓住了最本质的东西，都能取得成功，可谓“殊途同归”。所以今天我要讲些我认为更本质的东西，而不拘泥于细节。这可能是我不同于其他演讲者的地方，也是我的一贯风格。0712班的同学可能会感到有些重复，但不会重复得太多。另外请大家注意，这只是我的一家之言，难免有不当之处，请勿盲目套用，以防教条主义错误。 一、培养兴趣

爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师。”这简简单单的一句话揭示了众多科学家选择科研这一并不平坦的道路的原因，因为兴趣是促使科学家刻苦钻研、勇攀科学高峰的最强大动力。让我们来欣赏几段数学家的名言，看看他们对自己所热爱的学科的认识吧——

伟大的德国数学家、现代数学分析的奠基人维尔斯特拉斯说：“一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。”伟大的法国数学家、被誉为“最后一位通才”的庞加莱说：“一个名副其实的科学家，尤其是一个数学家，在他的工作中感受到与一个艺术家同样的印象；他的愉快也同样巨大，并且具有同样的性质。”我国著名数学家陈景润在科普读物《数学趣谈》的序言中写道：“数学并不枯燥，它是极其生动有趣的一门科学??揭开它的严密逻辑性及高度抽象性这层面纱，我们会看到表面上枯燥无味的数学有着一张趣味无穷的面孔。”伟大的德国数学家、“数学王子”高斯曾热情地讴歌：“你，自然，我的女神，我要为你的规律而献身！”再看一个更具震撼力的——美国数论大师赛尔伯格说：“我很同情非数学家，我觉得他们失去了一种最激动人心的、丰富的智力活动的回报。”

2006年6月26日，著名数学家、华人当中首位菲尔兹奖获得者丘成桐教授在光明日报社做了一场题为“数学家之路——从‘庞加莱猜想’说起”的演讲。

光明日报社邀请了首都部分高校的师生参加。我作为清华大学数理基科班的一名学生，有幸聆听了当代数学大师的讲座。

丘教授强调：“做学问的热情绝对是解决重要伟大问题的一个必要条件。”“有了兴趣以后，你做什么事都会容易，也一定会成功，没有兴趣你做什么都不会成功。”这话可能说得有点绝对，但毫无疑问，丘先生的成功是跟他对数学的兴趣分不开的。真正喜欢数学的人是一定能把数学学好的。

我在长期学习生活中，体会到：看似枯燥的数学也蕴含着其特有的美。这种美是一种理性的美，思维的美，逻辑的美，它体现在清晰严密的推理之中，体现在完美无缺的结论之中，体现在精确简洁的语言之中，体现在充满想象的创造之中。这种体会不是与生俱来的，更不是从某本书上抄来的，只有通过深入学习和思考才能得到。

需要指出的是，兴趣不是天生的，至少不完全是。对于科学，我小时候就有一种特殊的爱好。这一方面源于好奇心的驱使，一方面与当时广泛的课外阅读有很大关系。这种兴趣一直是促使我努力学习的强大动力，因为物理、化学、生物、地理等课程正是小学时的业余爱好。业余爱好成了主课，当然是一件令人高兴的事，学习起来也就得心应手。事实上，就学习方面而言，我的兴趣是比较广泛的。小学的时候，《十万个为什么》看了二十多本，物理、化学、动物、植物、天文、地理都有所涉猎；可是唯独《数学》分册没看过——因为当时看不懂。对一个小学生而言，乘方、开方、对数、三角等运算都是完全陌生的，甚至没接触过数学证明，又怎能对数学之美有所理解呢？那时的我，至多热衷于做复杂的四则运算而已。只有到了中学阶段，掌握了一定量的基础知识，初步形成了理性思维的能力，我才逐渐体会到数学的魅力，并在课下主动钻研、探索，使这一认识不断深化。又如我学习马克思主义哲学的过程：起初对它毫无了解，也就没有兴趣可言；直到学了一些哲学常识，并在学习生活中切实体会到自然科学中存在着唯物论和辩证法的影子，才真心接受了这一与数学同样抽象、概括而又深邃的科学。所以，不要在真正了解一个学科之前就断言自己对它没有兴趣！要知道，兴趣是可以培养的。

那么，如何培养兴趣呢？这个问题不好回答。不过有一点是肯定的，不要盲目排斥。如果你对某一学科产生了一种本能的排斥，不愿接触它，认为自己永远学不好，那可能就真的永远学不好了。关于具体做法，我只能谈几点粗略的看法。我的体会是，如果刚开始学某一学科时就打好基础，就会越学越有信心，从中找到成功的乐趣。可是如果没打好基础怎么办？那也要建立信心，相信自己是能够取得进步、获得成功的。更重要的是要深入思考，领会这门学科的精神实质。恩格斯说：“思维着的精神是地球上最美丽的花朵。”

再谈谈关于复习的问题。相信有不少基础比较好的高三同学认为复习没有什么必要，那些知识自己已经会了。我非常理解这种想法，因为上高三之前我也是这么想的。经过高三一年的复习，我发现：即使你的基础很好，复习也并非毫无意义。首先，在学完高中的全部课程后对各部分知识进行全面的、深入的重新审视，会有许多新的发现 ——正是在高三一年里，我对数学之美的认识有了很大提高。其次，如果你真的学得很好，练习题大部分都会做，那么在解题中寻求成功，以此证明自己的实力，不也是一件愉快的事吗？孔子曰：“学而时习之，不亦说乎？”另外，无论学得多么好的人，在复习过程中至少有时会发现知识点上的漏洞，这个可能性谁也不能排除。 二、独立钻研

如果让我用一句话概括学习经验，我将引用爱因斯坦的这句话：“我没有什么特别的才能，不过喜欢穷根究底地追究问题罢了。”这虽是爱因斯坦的自谦之辞，但由此可见这种探究精神的重要性。马克思的一句名言值得每个有志于科学研究的人牢记：“在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。”

不知你是否注意到这一现象：当你完全凭借自己的思考解决一个复杂的问题，而非借助于任何人的帮助时，你会由衷地感到成功的喜悦；更为重要的是，这时你的解题能力已经肯定地得到了提高，并且思路不易遗忘，以后解决类似问题将是很顺利的事情。但是，这意味着直接面对困难，因而要求有刻苦钻研精神。

我曾遇到这样一道练习题：在100个零件中有10个次品，从这100个零件里任取5件，求取到的次品数的数学期望。没学过相关数学知识的同学，不必弄懂细节，了解大概意思就可以了；对于高三理科同学来说，经过半年的复习，一定已经对这里涉及的数学知识很熟悉了，至少我假定你们已经对此很熟悉了。

利用排列组合与概率知识，很容易得到随机变量的分布列： 次品数ξ 概率P 0 05C5C95 5C1001 4C15C95 5C1002 23C5C95 5C1003 2C35C95 5C1004 41C5C95 5C1005 0C55C95 5C100列算式是很容易的： 054233241500?C5C95?1?C15C95?2?C5C95?3?C5C95?4?C5C95?5?C5C95 E??5C100（不过要算出结果来就不容易了??）

95?94?93?9295?94?9395?941?5??2?10??3?10??4?5?95?5?1?12462 ?100?99?98?97?96120好在需要做的只是有限步的四则运算，没什么难的。经过长时间的笔算，我

4517251200得到这样一个数：，化简后恰恰等于0.5。注意，是准确值0.5！这

9034502400与参考答案0.501不符。但是，练习册的编者舍得花时间认真去算吗？并且如此完美的结果也不大可能是计算上的失误造成的巧合。其中一定隐藏着某种规律！

因此，我试着把这一结论推广，提出一个一般性的命题，以便做出科学的证明：设全集U有n个元素，U的子集A有m个元素，从U中任取x个，则取到的

mx属于A的元素个数ξ的期望为。(m≥x,n-m≥x)

n具体证明过程这里就不讲了。简而言之，问题归结为证明这个等式：

?Ci?1xi?1m?1?ix?1Cnx?m?Cn?1

这一等式的证明令我颇费了一番周折。几经尝试，均告失败，一连几天，毫

无进展。后来终于利用构造法完成了证明。真是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”！历尽艰辛后成功的喜悦是难以言表的。至于0.501，很可能是近似值相

加造成的误差所致。

通过这一事件，我更加深刻地体会到为何许多人把数学同美联系起来。是啊，mxEξ＝，这是一个多么完美的公式啊！它给出的是数学期望的精确值，没有

n半点误差！繁琐的运算，可以被这个简洁的等式所代替了。如果把题目改成“在1000个零件中有100个次品，从这1000个零件里任取50件”，那么我们可以随口答出取到的次品数的数学期望是5，准确值5！倘若硬算，这个工作恐怕不是普通计算器能够胜任的。此外，这个公式符合我们日常生活中用样本频率估计总体频率的直觉，然而又高于直觉，因为这是由严密的数学推导得来的。正如艺术源于生活，又高于生活。只不过在以数学为首的自然科学领域中的探索，与在艺术领域中的创造不同，除审美情趣外，更需要实事求是的精神和严格的推理、证明。事实上，正是在这种将证明进行到底的过程中，我对数学的兴趣不断增强，我对数学的认识逐渐加深，我对数学的应用日趋娴熟。

下面谈谈关于这道题的一些相关情况。我的探索过程最初记录在语文老师布置的周记里。后来这成了申请清华大学自主招生时所写“个人陈述”的重要内容。顺便说一句，自主招生冬令营不仅可能对升学有帮助，而且是一个提前了解清华的好机会，所以我非常希望二中能有同学申请到清华大学自主招生名额。我的申请材料可供高一高二的同学届时参考。本学期我选修“概率论介绍”课，发现这竟是一道作业题，前面所说的随机变量服从的分布叫做“超几何分布”。（当然并不是说这道题达到了高等数学的水平，只能说明这门课比较简单，涉及了一些初等数学的知识。）做作业的时候，我进行了更深入的思考，发现对x的限制可以去掉，也就是说当x>m或x>n-m时公式也是成立的。有兴趣的同学不妨想一想。

可能很多同学关心这个问题：有些题目实在想不出来，就只好去问别人，那么究竟一道题目研究多久再去问别人合适呢？这是很难回答的问题，不可一概而论，需要具体问题具体分析。应当承认，因水平、时间有限，我们有时不得不放弃一些独立钻研的机会。全凭自己的力量解决所有难题是不现实的。但是，很可能出现这样的情况：一道题想了很久毫无思路，过一段时间再看，就突然有了灵感。所以，不可能给出思考一道题目的时间的上限。比如规定一道题N分钟内想不出来就该问别人，可是谁知道第N＋1分钟会不会有所进展呢？我们应该努力寻求一种平衡状态，既不轻易回避问题，又不盲目浪费时间。可是，实话实说，这种平衡的尺度我也不见得把握得很好，最佳的平衡状态需要你自己去摸索、去把握。不过，至少独立钻研的过程是必要的。你不能永远逃避困难，因为有些困难是逃避不过去的！ 三、打好坚实的基础

唐代名臣魏征告诫唐太宗说：“求木之长者，必固其根本；欲流之远者，必浚其泉源。”从中我们可以体会到打好基础的重要性。基础知识不牢的人，就像无根之木、无源之水，即便取得一点成绩，最终也会倒塌、干涸，不免为人所耻笑。有一些所谓的“业余数学家”，连一点数论的基本常识都没有，却妄称证明了哥德巴赫猜想，背着大捆草稿四处游走，却不静下心来好好学学数学，改进他们的工具。殊不知骑自行车是到不了月球的！

丘成桐教授在那天的讲座中也提到了“业余数学家”的问题。他给这些人的忠告是：要将自己训练成逻辑思维很严谨的数学家，慢慢地一步一步往前走，最终会找到自己错误的地方。

真正的数学家是什么的人呢？美国数学家贝尔在他的名著《数学精英》中写

了一个有趣的故事。苏格兰物理学家威廉·汤姆森，即开尔文勋爵，给数学家下了一个所有定义中最令人满意的定义。“你们知道数学家是什么样的人吗？”开尔文有一次问班上的学生。他走到黑板面前，写下了

?????e?xdx?? 2然后他用手指着写下的式子，转身对学生们说：“一个数学家就是，对他说来，这就像二加二等于四对你们一样明显的人。”

这个故事告诉我们，要成为数学家，就必须对基础知识运用自如。事实上，19世纪中期以来，数学家们研究的问题已经远远超出了开尔文所举的例子，正如开尔文的例子远远超出了“二加二等于四”一样。要想建成科学知识的大厦，必须打好深厚而坚实的地基。

那么，如何打好基础呢？陈景润有一段十分精彩的自白：我读书不只满足于读懂，而是要把读懂的东西背得滚瓜烂熟，熟能生巧嘛！我国著名的文学家鲁迅先生把他搞文学创作的经验总结成四句话：“静观默察，烂熟于心，凝思结想，然后一挥而就。”当时我走的就是这样一条路子，真是所见略同！当时我能把数、理、化的许多概念、公式、定理一一装在自己的脑海里，随时拈来应用。

“静观默察，烂熟于心，凝思结想，然后一挥而就”，这也是我走的一条路子。我的体会是：平时打好基础，考前就不必搞什么“突击”。如果已对知识熟练掌握，考前闲读《语文读本》也不是什么惊人之举——当然前提是平时的学习要达到这种程度。高一高二打好基础，高三就能省下不少力气。举个可能不太恰当的例子，高三一年的复习过程中，我几乎没翻过数学教科书。不是说教材不重要，恰恰相反，正因为那上面的概念、公式、定理非常重要，所以要把它们保存在脑子里。当然，对于数学基础不太好的同学来说，看书是很重要的，切莫轻易模仿。高中时期打好基础，对大学进一步学习很有帮助。例如我所学的《数学分析》教材所强调的数学严格性，正是我在高中所追求的东西，所以我从一开始就喜欢上了这门课，做了这门课的课代表。当然，遗忘是不可避免的。只有多思考、多运用，才能像老工人熟悉机器的零部件一样熟悉你所学的知识，从而克服遗忘，达到烂熟于心的程度。

其实我没有什么特别的学习方法，至多能总结出最基本的几条：重视课上听讲、认真完成作业、注重平时学习。真正做到这几点，打好基础，看上去要花费不少力气，但事实上可能事半功倍，就像前面所说的那样。如果课上三心二意，课下点灯熬油，疏于作业，陷于题海，平时不努力，临考搞“突击”，那只能事倍功半。

四、注重应用与创新

美国数学家柯朗说：“事实上‘纯的’与‘应用的’数学之间找不到严格的分界线。”。英国统计学家纽曼还做了个比喻：数学被其他学科作为实际工具，“就好像一个人戴了一顶高帽子去参加婚礼，后来在起火时发现它居然可以当水桶用”。

我们所学的知识，大多是“纯的”数学、“纯的”物理、“纯的”化学??它们就像一顶顶美丽的高帽子。但当发现几处小火苗时，为何不拿来当水桶用呢？事实上，灵活运用所学知识解决实际问题，不仅有利于这一问题的正确解决，而且能起到巩固知识、提高技能的作用。

我曾用数学语言表述出一次校级数学竞赛的考场分配规则（学号为1～36的同学，把自己的学号表示成3x-2,3x-1或3x的形式，其中x∈N+，1≤x≤12，

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