中学数学建模思想及方法应用(2)

2.2引导学生树立建模思想

利用建模思想解决问题与普通的课堂解题思维有明显的不同，这就需要学生能够转变思考角度，灵活地将数学知识应用到实际问题中去，而这个过程，教师的引导是必不可少的.

1、创设生动的问题情境，激发学生情感

要发挥多媒体技术手段的优势，根据具体教学内容、学生的认识水平，设计和应用多媒体课件创设生动的问题情境，为学生提供主动发现、主动发展的机会，激励学生积极参与建模活动.

2、重视知识产生和发展过程

由于知识产生和发展过程本身就蕴含着丰富的数学建模思想，例如数学概念的建立，数学公式的推导，因此老师既要重视实际问题背景的分析、参数的简化、假设的约定，还要重视分析数学模型建立的原理、过程，数学知识、方法的转化、应用，不能仅仅讲授数学建模结果，而忽略数学建模的建立过程.

3、采用启发式和讨论式教学法

教学时应当采用启发式和讨论式教学法，通过多种途径、多种方式渗透数学建模方法，努力推广学生自主发展的空间，让学生独立思考，让学生动脑、动手、动口，将有效地提高学生运用数学解决实际问题的能力.

2.3建模教学过程遵循的原则

建立数学模型是一个从实际到抽象、再从抽象到实际的转换过程，要让学生接受这样一个复杂的过程，教学者就应对建模教学有一个清晰透彻的认识.对于中学来说：

1、要突出学生主体地位

建模的教学环节是将实际问题抽象简化成数学模型，求得数学模型的解，检验解释数学模型的解，并将其还原成实际问题的解，从而最终解决实际问题.课程特点决定每一个环节的教学都要把突出学生主体地位置于首位，教师要激励学生大胆尝试，鼓励学生不怕挫折失败， 鼓励学生动口表述、动手操作、动脑思考，鼓励学生要多想、多读、多议、多讲、多练、多听，让学生始终处于主动参与，主动探索的积极状态.

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2、要分别要求，分层次推进

建模方法是解决应用问题的重要方法，但因为长期传统应试教育的影响，造成学生动手操作能力差，应用意识薄弱.在建模教学中，根据素质教育面向全体学生，促进学生全面发展的目标，教师要重视学生的个性差异，对学生分别要求、个别指导、分层次教学，对每个学生确定不同的数学建模教学要求和素质发展目标.帮助学生增强信心，提高自信，进而克服困难，取得建模成功.调动学生的积极性和主动性，让学生在建模教学中体会到学习的收获与进步.

3、要全方位渗透数学思想方法

由于建模教学面对的是千变万化的灵活的实际问题，建模过程应该是渗透数学思想方法的过程，首先是数学建模化归思想方法，还可根据不同的实际问题渗透函数的思想、方程的思想、数形结合的思想、逻辑划分的思想、等价转化思想、类比归纳思想和类比联想思想，还可向学生介绍消元法、换元法、待定系数法、配方法、反证法、解析法、归纳法等数学方法，让学生从本质上理解数学建模的思想.

4、要实行推迟判断为特征的教学结构

所谓“推迟判断”就是延缓结果出现的时间，其实质是教师不要过早地把“结果”抛给学生，由于建模教学活动性强，教学成功的关键是教师要调动所有学生的探索欲望，积极参与教学过程.学生通过步步深入的积极思考探索，激发了思维，真正唤起主动参与的意识.教师通过启发诱导学生积极思考，组织学生进行热烈或紧张的讨论，问题就会逐渐明朗化，最终获得满意的建模方案.

数学建模是一种主动的活动，要在现实中提取数学模型.在建模过程中，学生所面临的主要问题是如何从杂乱无章的现象中抽象出数学问题，并确定出问题的答案，这就要善于在其中分解与目标相关联的最主要元素，常常先从建立简单模型入手，逐步考虑各种建模要素，使模型按预定的目标逐渐完善.

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第2章 数学建模在中学数学中的应用

在数学建模过程中，不仅要使学生掌握数学模型的概念及建模的方法和技能，而且要培养学生把客观事物的原型与抽象的数学模型相联系的能力.那么，如何运用数学知识来构建模型呢？

第1节 建模解题的基本步骤

数学建模是一个数学解题过程，大致分为以下四个步骤：

1、审题：现在的高中数学应用题的题目较长，要求学生具有较强的数学阅读能力.通

过仔细阅读题目，理解问题的实际背景，分析处理有关数据，把握已知量和未知量的内在联系. 审题时要准确理解关键语句的数学意义，如“至少”、“不大于”、“总共”、“增加”、“减少”等，明确变量和参数，合理设元.

2、建立数学模型：将实际问题抽象为数学问题，建模的直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数学符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型.

3、求解数学模型：根据建立的数学模型，选择合适的数学方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解，其中特别注意实际问题中对变量范围的限制及其他约束条件.

4、检验：既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求，从而对原问题做出合乎实际意义的回答.

第2节 建模解题的基本思想

数学建模作为一种解题方法，有其特有的解题思想.

1、关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系来建立问题的数学模型的方法.

例1 （消防损失最小问题）森林失火了，火势正以每分钟100平方米的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在失火后五分钟到达现场救火，已知消防队员在现场每人每分钟可灭火50万平方米，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁一平方

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米森林的损失费为60元，问应该派多少名消防队员前去救火，才能使得总损失最小.

分析 建立数学模型：

总损失费=森林损失费+灭火材料费+车辆器械费， 森林损失费=每平方米损失费?面积

=每平方米损失费?每分钟平方米?时间 =60?100??5?t?，

灭火材料费=每单位时间人均费用?人数?时间=125?x?t ， 车辆器械费=人均车辆器械费?人数=100?x， 灭火面积=新增过火面积+原有过火面积 即

50?x?t?100t?500.

解 设需要x名消防员，t分钟救火时间，由题意可知

50?x?t?100t?500，

即

t=

10， x?2由条件列出森林损失费与救火费用的总损失费用的目标函数为

y?60?100??5?t??125xt?100x，

由不等式的性质

y?36450，

当

t=

即

10时， x?2x=27时，

总损失最小.

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2、列表分析法：即通过列表的方式探索问题的数学模型方法.

例2 （服装的降价幅度问题）某种服装原来以高于成本价的40%出售，根据市场调查，原价每降低1个百分点，月销售件数将增加10个百分点，为使月毛利润（月毛利润=月销售总额-月成本总额）比原来增加幅度不小于30%，问降价至多多少个百分点？

分析 从整体上看，这是一个服装销售过程中计算毛利润问题，涉及服装的成本价、原价、月销售件数、月销售总额、月成本总额、降价等概念，从局部来看，关键是处理好上述各量之间的关系，在选准基准量后，应分析降价前后的服装销售毛利润.

解 设原价为a，销售件数为b，价格降低的百分比为x，列表分析如下：

表2-1

降价前 降价后 成本 5a 75a 7价格 销售量 b 销售额 ab 毛利润 ab?5ab?2ab 77a a?1?x? b?1?10x? ab?1?x???1?10x? ab?1?x???1?10x? ?5ab?1?10x?7

数量关系式为

[ab(1?10x)(1?x)?5ab(1?10x)/7?2ab7]?3000，

2ab/7公式化简得

-70x2+13x-0.6?0，

解得

x?0.1，

答：降价至多0.1个百分点.

3、图象分析法：即通过对图像中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法. 例3 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图（如图2-1）

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