牛顿第二定律连接体问题---教师版(2)

B．A、B物体速度相同时加速度差最大 C．A、B物体加速度之和恒定

D．在弹簧振动的一个周期内，A、B的位移相等 E．系统机械能守恒

【启导】本题可以从牛顿运动定律着手，分析物体运动情况及运动过程中个物理量的变化情况和物理量间的关系。但是你会发现过程非常麻烦，而且极易出错。那么，还有别的办法吗？在这里给大家支上一招，如下所述。

【解析】把A、B两物体的运动情况定位为初速度为零的匀加速运动和简谐振动的合运动，若要用数学公式进行计算还是有一定的难度。

既然把A、B两物体的运动情况定位为初速度为零的匀加速运动和简谐

v振动的合运动，简谐振动的图像是三角函数的正弦或余弦函数图象，初速度为零的匀加速运动是过原点的倾斜直线，二者叠加合成的结合就是右边的图象曲线。从图像上可以看到：

（1）t=0时B的加速度最大，A的加速度为零。随后B作加速度减小的加速运动，A作加速度增大的加速运动，加速度相等时速度差最大。再随后A作加速度减小的加速运动，B作加速度增大的加速运动，加速度相等时速度差最大，周而复始。

（2）基于上述理由和事实，速度相等时，弹力为零或最大（弹力最大值等于恒力F）。B加速度最大时，A加速度为零，A加速度最大时，B加速度为零。因此，A、B物体速度相同时加速度差最大。

（3）这时我们把A、B物体系看作一个整体，其合外力恒定加速度之和为a合?F2m。 （4）一个周期内A、B的相对位置回到原位置，因此，它们的位移相等。

（5）把A、B物体系看作一个整体，其合外力恒定且做功、系统机械能不守恒。

综上所述，A、B、C、D四个答案全对，E答案不成立。 【答案】ABCD

【品味】具有趋势性的运动的物理事件，图像法表示具有一定的优势，直观、客观、科学地反映物体在运动变化中各物理量的关系，有时可以起到未算先知的效果。

1．连接体

指运动中几个物体或叠放在一起，或并排挤放在一起，或用轻绳、轻杆、强弹簧联系在一起的物体系。 2．本质特征与解法

（1）加速度相同的连接体：与运动方向、有无摩擦力、两物体放置的方式都无关，平面、斜面、竖直都一样，只要两物体保持相对静止，恒满足“合外力按质量均分”。常见形式如下：

Fm2m1m2m1F1 m1m2F2

F1m1m2F2

F

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??

（2）加速度不同的连接体：常应用对系统的牛顿第二定律、图像法和分析推理法求解。 下面对系统的牛顿第二定律及其应用进行说明：

对系统的牛顿第二定律：系统所受到的合外力等于系统中各物体的质量与自身对应加速度乘积之和。

表达式 分量式

?F?ma11?m2a2?m3a3????????mnan

?F?Fx?m1a1x?m2a2x?m3a3x????????mnanx ?m1a1y?m2a2y?m3a3y????????mnany

y 应用对系统的牛顿第二定律求解组合体动力学问题的一般思路

①弄清系统的构成和系统内各物体的状态

②跟据题目所求建立坐标系，分解各物体的加速度 ③应用对系统的牛顿第二定律列方程，代值求解 使用要诀：分解物体加速度，选取系统来解求 常见形式举例：

??

练习 如图所示，两个质量相同的物体A和B仅靠在一起，放在光滑的水平面上，如果它

们分别受到水平推力F1和F2，而且F1?F2，则A施与B的作用力大小为（ ）

A．F1 B．F2 C．

F1?F2F?F2 D．1 22【解析】以B为研究对象，由“合外力按质量均分”可知

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?FB?mB?F1?F2?F1?F2 ?mA?mB2由于

?FB?FAB?F2

所以 FAB??FB?F2?F1?F2 2【答案】C

【回味】本题为加速度相同的连接体问题，可以应用“合外力按质量均分”结论来求解，也可以应用先整体后隔离的常规方法来求解，学员可以分别求解，对比体验。

如右图所示，长为L的均匀粗绳，置于水平面上，其右端B

施加以一水平恒力，粗绳在水平恒力作用下向右运动。求：距B端距离为x的P点绳的张力？

【解析】均匀粗绳质量按长度来均分，“合外力按质量来均分”，因此

TP?【答案】

L?xF LL?xF L【回味】如果你觉得上题中“结论法”还没有体现出对常规方法的优越性的话，那么本题中你将获得这种感受，不妨试试！

如图所示，一质量M=6kg的斜面体置于粗糙水平地面上，倾角为

amM30?。质量m=4kg的物体以a=3m/s2的加速度沿斜面下滑，而斜面体始终保

持静止。求：地面对斜面体的摩擦力及支持力。（g=10m/s2）

【解析】由题设知物块沿斜面加速下滑，斜面体静止，要求得是地面对斜面体的水平摩擦力和竖直向上的支持力，因此可沿水平方向与竖直方向建立直角坐标系，分解加速度。 分解物块m的加速度，如右图所示。

acos30?由对系统的牛顿第二定律知

地面对斜面体的摩擦力方向向左，大小为

30?Ff?macos30??63N

地面对斜面体的支持力

a30?asin30?FN??M?m?g?masin??94N

【答案】摩擦力63N，支持力94N

【回味】地面对斜面体的摩擦力与系统水平方向合加速度对应，对斜面体的支持力等于系统的重力加上超重部分或减去失重部分对应的力。 求解此类题目的常规方法就是连续应用隔离法，不过分析和运算过程往往非常复杂，学员不妨试一试，两种方法做个对比，加深体会。

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【例1】 在粗糙水平面上有一个三角形木块a，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m1和m2的两个木块b和c，如图所示，已知m1＞m2，三木块均处于静止，则粗糙地面对于三角形木块（ ）

c A．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向右 m1 b m2 B．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向左

a C．有摩擦力作用，但摩擦力的方向不能确定 D．没有摩擦力的作用

【解析】由于三物体均静止，故可将三物体视为一个物体，它静止于水平面上，必无摩擦力作用，故选D．

【例2】有一个直角支架 AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环 Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸展的细绳相连，并在某一位置平衡，如图。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力N和细绳上的拉力T的变化情况是（ ）

A．N不变，T变大 B．N不变，T变小 C．N变大，T变大 D．N变大，T变小

【解析】隔离法：设PQ与OA的夹角为α，对P有： mg＋Tsinα=N

对Q有：Tsinα=mg

所以 N=2mg， T=mg/sinα 故N不变，T变大．答案为B

整体法：选P、Q整体为研究对象，在竖直方向上受到的合外力为零，直接可得N=2mg，再选P或Q中任一为研究对象，受力分析可求出T=mg/sinα

【例3】如图所示，设A重10N，B重20N，A、B间的动

A 摩擦因数为0.1，B与地面的摩擦因数为0.2．问：（1）至少

F B 对B向左施多大的力，才能使A、B发生相对滑动？（2）若

A、B间μ1=0.4，B与地间μ2=0.l，则F多大才能产生相对

滑动？

【解析】（1）设A、B恰好滑动，则B对地也要恰好滑动，T A 选A、B为研究对象，受力如图，由平衡条件得：

F T B F=fB+2T fB 选A为研究对象，由平衡条件有

T=fA fA=0.1×10=1N fB=0.2×30=6N F=8N。

A T fA （2）同理F=11N。

【例4】将长方形均匀木块锯成如图所示的三部分，其中B、C两

θ 部分完全对称，现将三部分拼在一起放在粗糙水平面上，当用与木块B 左侧垂直的水平向右力F作用时，木块恰能向右匀速运动，且A与B、F A A与C均无相对滑动，图中的θ角及F为已知，求A与B之间的压力为多少？ C 【解析】以整体为研究对象，木块平衡得F=f合 又因为 mA=2mB=2mC 且动摩擦因数相同， F1 所以 fB=F/4 θ 再以B为研究对象，受力如图所示，因B平衡，所以

fB F1=fBsinθ 即：F1=Fsinθ/4

f1

【点评】本题也可以分别对A、B进行隔离研究，其解答过程

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相当繁杂。

【例5】如图所示，在两块相同的竖直木板间，有质量均为m的四块相同的砖，用两个大小均为F的水平力压木板，使砖静止不动，则左边木板对第一块砖，第二块砖对第三块砖的摩擦力分别为

A．4mg、2mg B．2mg、0 C．2mg、mg D．4mg、mg

【解析】设左、右木板对砖摩擦力为f1，第 3块砖对第2块砖摩擦为f2，则对四块砖作整体有：2f1=4mg，∴ f1=2mg。

对1、2块砖平衡有：f1+f2=2mg，∴ f2=0，故B正确。

【例6】如图所示，两个完全相同的重为G的球，两球与水平地面间的动摩擦因市委都是μ，一根轻绳两端固接在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为θ。问当F至少多大时，两球将发生滑动？

【解析】首先选用整体法，由平衡条件得 F＋2N=2G ①

再隔离任一球，由平衡条件得

Tsin(θ/2)=μN ② 2·Tcos(θ/2)=F ③ ①②③联立解之

。

【例7】如图所示，重为8N的球静止在与水平面成37角的光滑斜面上，并通过定滑轮与重4N的物体A相连，光滑挡板与水平而垂直，不计滑轮的摩擦，绳子的质量，求斜面和挡板所受的压力

0

（sin37=0.6）。

【解析】分别隔离物体A、球，并进行受力分析，如图所示： 由平衡条件可得： T=4N

00

Tsin37+N2cos37=8

00

N2sin37=N1+Tcos37 得 N1=1N N2=7N。

【例8】如图所示，光滑的金属球B放在纵截面为等边三角形的物体A与坚直墙之间，恰好匀速下滑，已知物体A的重力是B重力的6倍，不计球跟斜面和墙之间的摩擦，问：物体A与水平面之间的动摩擦因数μ是多少？

【解析】首先以B为研究对象，进行受力分析如图 由平衡条件可得： N2=mBgcot30 ① 再以A、B为系统为研究对象．受力分析如图。 由平衡条件得：N2=f， f=μ(mA+mB)g ② 解得 μ=√3/7

【例9】如图所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧。在这过程中下面木块移动的距离为

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