11?(?cosx?x)26?(x?cosx)2?026?3?1???
?12
?x（14）
?x01?sin2xdx??x0sinx?cosxdx??40(cosx?sinx)dx??x4(sinx?cosx)dx
??(sinx?cosx)4?(?cosx?sinx)x?22x04
?（15）
??2xcosx?sinx(xsinx)2??1(x sinx)2d(xsinx)??12?42?2x sinx??4dx??244?
（16）
?3?1max{1 , x2}dx??1?1ldx??31x2dx?x1?1?x232?10313
11．设f(x)? 解：设
?t(l?t)e0x?2tdt，问x取何值时，f(x)取极大值或极小值．
?t(t?l)e-2tde?g(t)
f(x)?g(x)?g(e)
则
所以 因为 所以
f ' (x)?g ' (x)?x(x?1)e?2x??x(x?1)e?2x
f ' (x)在(?? ,0)f(x)在
，(?1 , ?? ) , (-1 , ?)上大于0，在(0 , 1)内小于0
(?? , 0) , (1 ,??)上单调递增，在(0 , 1)内单调递增．
所以当x?0时，f(x)取极大值，x?1时，f(x)取极小值。 12．设
?I1???2?sinx1?x2cos2xdx2?I2???2?(sinx?cosx)dx
2?I3???2(sin5x?cosx)dx?2比较I1 ，I2 ，I3的大小． 解：
?I1??2sinx??21?x2cos2xdx
?0
?I2?
?2??(sinx?cosx)dx2
?2
?I3?
?2??(sin5x?cosx)dx2
??2
????cosxdx2
???2??cosxdx?02
???2???cosxdx?02
?I3?I1?I2
13．用换元积分法计算下列各定积分 （1）
??sinx1?cos2xd0x （2）
?ln3dx 01?ex（4）
?1dx （5）
0(1?x2)3?2x2?11xdx 3）
?e2dx1?ln
1x（6）?ax2a2?x2dx0（ （7）
?3dxx1?x21 （8）
?1xexe?eee??x0dx （9）?40tan(lncosx)dx
（10）（13）
??e6e223lnx?2dx （11）xdxx2?dxx(1?lnx)lnx （12）
?2?sin9xdx
0x?12 （14）
?1x?3?2x?5?1x2dx
解：（1）??x0?11?cos2xdcosx
x??arctan(cosx)
0?? 2（2）令1?ex?t
则x?ln(t2?1)
x?ln3，时t?2；x?0，时t?2
?2?221t2?1dt
?lnx?12 x?12??[ln3?2ln(2?1)]
（3）=
?e2dxx1?lnx1
2? ???0xsinxdx???xsinxdx?21?lnxe2 1?23?2
（4）?x31?322x12?03?dx(1?322x)
?x3(1?x2)1302?12dx
3(1?x2)102 ?2
2（5）??21x2?1dx x212 x1 ?x2?1?arccos1 ?3?x8?3
aa4xaarcsin 8a0（6）?(2x2?a2)a2?x2?0 ?0??16a4??16a4
（7）令x?tant，则积分区域为
3??到． 43?dx1?x2?1????34(sect)2?dttant?sect
???34?dt?dcost??3sint1?cos2t?
41d(?cost)13dcost???3???21?cost21?cost???4?4???1313ln(1?cost)?ln(1?cost)?2?24411?ln(2?2)?ln3(2?2)221?ln(2?2)?ln62
（８）令ex?t
??1exex?e?xe0dx??e11dt1tt?tt?1??edt??lnx?x2?1?
??1t2?11e?e2?11?2?ln（9）
（10）令t?lnx则x?et
?e6e3lnx?2dx?x3?613t?2dt62?(3t?2)219?14
（11）令lnx?t,则积分上下限变为与1.
12?eedxx(1?lnx)lnx??112dt(1?t)t
令t?sin2x积分上下限为:,
42?????22sinxdsinx1?sin2x?sinx???244?2dsinx1?sin2x??ln(sinx?sin2x?12?
4?ln1?22?2322??ln2?21?3（12）
??2??0sin9xdx
?????(cosx?4cos?6cos?4cos02(1?cos2x)4dcosx86420x?1)dcosx
?0（13）令x2?sec3a则dx?seca?tana
?22dxx2x2?1????34?seca?tana?dasec2?tana?
3?23???3cosada??sina??244?（14）令x?1?a
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