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由于 因此：
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1.4斐波那契数列性质及其简单证明
性质1 性质2 性质3 性质4 性质5
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性质6
其中，n都从0开始取。
性质1的证明：（用数学归纳法）
（1） 当n=1时，左边==1，右边=
所以左边=右边。 即n=1时，等式成立。
（2） 假设n=k时，等式成立。
即有
则当n=k+1时，
=
,
= = = 即n=k+1，等式也成立
综合（1）（2），对于所有正整数，证必。
均成立。
其他的性质，都可以利用数学归纳法，类似证明，此处不再赘述。
除此之外，标准的斐波那契数列还有如下的一些著名性质，他们大多数都难以证明。 （1） （2）
与
之差为1；随着数列继续下去，此差交替地为正或负。
两个相邻数的平方和
。
下列公式成立：
。
（3） 对于任何四个相邻的数：
（4） 斐波那契数列中每个数的最右一位数字锁构成的数列，每60个循环一次。最右两位数字，每300个循环一次。最右三位数字，每1500个循环一次。
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最右五位数字，每150 000个循环一次。并且，对于所有更多的位数，也有相应的循环。
（5） 每第三个数能用2整除，每第四个数能用3整除，每第五个数能用5整除，每第六个数能用8整除，等等。这些除数又构成斐波那契数列。相邻的斐波那契数列除1外无公因数。
（6） 除了3以外，没一个素数的数有素数为其脚码（例如，233是素数，它的脚码13也是素数）。另一方面，如果一个数的脚码是合数，则该数也是合数。遗憾的是，反过来不全真：有素数为其脚码，未必意味着该数是素数。第一个反例是
，脚码是素数，但4181=37113非素数。
1.5人体中与斐波那契数列有关的知识
人的身体的各种比例也暗合斐波那契数列，这从另一个方面说明了斐波那契数列的奇妙
经过长期的数据统计，人们发现了一个很有趣的现象。人体各个地方的比例好多都符合黄金分割比或其倒数： 腰以下长度 / 身高 = 0.618 腰以上长度 / 腰以下长度 = 0.618 颈至腰长度 / 腰以上长度 = 0.618 颈以上长度 / 颈至腰长度 = 0.618 身高 / 腰以下长度 = 1.618 腰以下长度 / 腰以上长度 = 1.618 腰以上长度 / 颈至腰长度 = 1.618 颈至要腰长度 / 颈以上长度 = 1.618 身高 / 腰以上长度 = 2.618 腰以下长度 / 颈至腰长度 = 2.618 并且你对于自己的手臂了解多少
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