数字滤波器外文翻译

CIRCUITSSYSTEMSSIGNALPltOCIL~ 'V~L. 13, NO. 5, 1994,1~. 591--600

复系数

有限脉冲响应数字滤波器*

M. J. Mismar 和 I. H. Zabalawi I

摘要 复系数FIR数字滤波器即在Z域传递函数具有复系数。基于某种准则而确定的该组系数可以满足预定义要求。在此基础上提出一种算法，将FIR数字滤波器和线性相位不对称振幅响应结合起来。我们采用极值逼近来确定该组系数，该组系数中相关的超定线性方程组用系数线性规划算法求解。计算机模拟表明，要满足规定的规格要求，提出的设计算法应得出最低阶复系数FIR数字滤波器。

1.简介

最近，越来越多人对复系数数字滤波器（CCDFs）的设计感兴趣[1] - [5]。这种兴趣可能有许多因素，包括：

不同应用领域的通用和专用数字信号处理器的设计的巨大发展， 许多应用需要复算法，

数字滤波器是数字信号处理（DSP）系统的基本组成部分。

有些DSP应用需要非对称响应频率的滤波器。通过采用一个简单的频率反式，如图1所述，来产生非对称响应。转换过程会将转移函数HR（z）Z域实系数转变成复系数，如HC（z）中

Hc(z)= Hr(Ze j~ (1)

*ReceivexlJanuaryl8,1992.

1Electrical Engineering Department ,Faculty of Engineering and Technology, University of Jordan,

Amman, Jordan.

592 MISMARAND ZABALA~VI

[

Hr(ei~

-os/2

F

o

C0s/2 Frequency

i

Figure la. Magnitude response of RCDE Hr (Z).

_ms/2

I.V)l

Frequency

Figure lb. Magnitude response of CCDF, Hc (Z) = Hr (zeJ'~

和ω0是该响应变化的频率（参见图1）。

本文论述的是不对称响应频率有限脉冲响应（FIR）数字滤波器的设计。这些滤波器有些可通过常规方法[6]开发，首先设计FIR数字滤波器，然后应用 类似于在（1）给出的频率变换。

0 Ωo

m~,/2

有些DSP系统中，例如数字单边频调制器和IDA（入侵检测算法）数字处理器，

FIR DIGITAL FILTERS 593

使用频率转换不可能生成所需要的非对称FIR响应。因此，我们迫切需要 用于这种应用的CCDFs算法设计。

本文主要目的在于提出设计复系数FIR数字滤波器的最优过程。Z域H?（z）的复系数可使用极值逼近确定下来，使之符合预定义的非对称频率响应。逼近法的根据是在设计对称响应FIR滤波器中采用的线性规划算法 [7]。

许多FIR型CCDFs都旨在符合规定要求，以证明所提出的设计方法的实用性。

2.问题陈述

调查问题表述如下：需要创建有限脉冲响应（FIR）的Z域转移函数,以满足整个预定义的线性相位频率范围-ωs / 2≤ ω≤ωS / 2, 其中ωs 属于rad/sec。不对称频率响应要求转移函数中的系数必须是复系数。 令 Hc(z)为所需的复系数FIR转移函数并定义其为

Hc(z) = )f_, qt z -k

其中，qk是一组复系数。方程式（2）可重新表示为

l

2n

(2)

k-----0

n

H (z) = z-\_,(ckz -k + c _ :

k --O

(3)

其中，ck (k = 0, 1 . . . . . n）为复系数，且

(4)

=ck = at + jb~.

在Z平面的单位圆的频率响应由下式给出

n

Hc(e joJ) e -j~ E ( c k e - J t ~ .t-'C_keJk~

k---- O

(5)

若令（5）为线性相位，则要求

C - k ~--\

其中￣ck是ck的复共轭。

通过（3）式，（4）式，和（6）式，所述幅频响应可表示 a s

IH(e~~ ωs(kto)+b, sin(kto)

(6)

(7)

594 MISMARAND ZAllALAWI

因此，需要确定最低组系数 {a，b} 以满足所需的振幅要求。

3.优化步骤

要确定最佳系数集合{C}，首先要定义通带和截止带边缘和公差，因为在设计过 程中通常考虑这些参数。

在整个频率范围-ωs/2 <ω<ωs/2中公差和边缘定义如下：

San for - ωs~2 < ω < ωal

IH~(eJ~')l <- 8~forωa2 < ω < ω,/2

(8) (9)

其中 且

1 - S p < IH(e#~ < 1 + S p forωel < ω < c o p 2 ωpl和ωp2是通带边缘,

ωa1和ωa2是截止带边缘， δp, δa1，以及δ

是规定的公差。

a2

现在调查（7），根据本维尔斯特拉斯定理，对于一个给定在集合{-ωs / 2；ωs / 2}的连续函数D（ω）,指定公差为δ，存在函数P（ω，D，H）且为正余弦和正正弦的线性组合

P(Ω, d, h) = ~ dk ωs(kw) + hk sin(kω) (10)

k----0

并满足以下不等式

E(ω) = ID(ω) - P(w, d , h ) l < δ. (11)

根据调查D（ω），问题可能为理想特点，P（ω，d，h）为近似函数，而E（ω）是误差函数。所需的误差函数应满足下列常数：

Spi f o r Ωpl < Ω < Ωp2

E(ω) < δal for - ωs/2 < ω < ωal (12)

δa2 for fOa2 < ω < ω~/2

且

1 forωpl < ca < r

(13) D ( c o ) = 0 f o r - c o ~ / 2 < c a < W a l 9

0 for ωo2 < ω < Ωs~2

我们可以引入一个加权误差函数E0（ω），定义为

Eo(ω) = W (ω)E(ω)

(14)

FIR DIGITALFILTERS 595

其中

1

W(m) =2.1 其中

topl < to < top2

- tos/ 2 < w < wal ;~2 too2 < to < w,/ 2 (15)

~.1 = 8p/8ol

~.2 = 8p/8o2.

(16)

因此，加权误差函数的绝对值由下式给出

(17)

IE0(to)l = ID(to) - W(w)P(to, d, h)l < 8p.

实际上，要实现所需频率范围内所需响应在所有点的偏差的最小化，需要离散时间间隔{ - ωs/ 2，ωs / 2}，使之成为足够数量的频点。不妨设m为样点分（ωi, i = 0, 1 .. . . . m），且m>n。因此，所研究的问题可以简化为复系数(d,h)线性方程的超定系统

。

要用极值逼近确定逼近函数P(ω, d, h) 中的复系数,需要制定如下对偶线性规划最大化问题.

令函数最大化，

m

E D(aTi)(sl - ti) i f f i l

(18)

则

(19)

~ _ , ( s i - ti ) W (oJi)ep(toi) = 0

i--1

其中

ωs (s

qb(toi)= sin[(~ . ~)tai ]

m

for k = 0, 2, 4 . . . . . 2n

f o r k = 1 , 3 , 5 . . . . . 2 n - 1

(20)

(21) (22)

E (si + tl) < 1

s i > O , t i > O . 因此，继续进行以下步骤进行逼近算法。 步骤1使用以下公式,确定FIR滤波器中初始值n：

n = min(nt, n2)

其中

nl = [tos/[3(topl -- toal)]] log[O.1 kl/δ~] -- 1

(23)

(24)

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