概率论与数理统计(修订版)复旦大学出版习题三答案(3)

??P(X?i)?P{Y?k?i}i?0kk?n??n?k?in?k?i????piqn?i??pqi?0?i??k?i?

knn????k2n?k??????pqik?ii?0?????2n?k2n?k???pq?k?方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则

X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,

所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布. 19.设随机变量（X，Y）的分布律为 Y 0 1 2 3 X 0 1 2 3 4 5 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； （2） 求V=max（X，Y）的分布律； （3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律. 【解】（1）P{X?2|Y?2}?P{X?2,Y?2}

P{Y?2}P{X?2,Y?2}?0.051?, 0.252 ??P{X?i,Y?2}i?05P{Y?3|X?0}?P{Y?3,X?0}

P{X?0}P{X?0,Y?3}?0.011?; 0.033 ??P{X?0,Y?j}j?03（2）P{V?i}?P{max(X,Y)?i}P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}

??P{X?i,Y?k}??P{X?k,Y?i}, i?0,1,2,3, 4,k?0k?0i?1i 11

所以V的分布律为 V=max(X,Y) 0 P

(3) P{U?i}?P{min(X,Y)?i}

0 1 0.04 2 0.16 3 0.28 4 0.24 5 0.28 ?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}

??P{X?i,Y?k}?k?i3k?i?1?5P{X?k,Y?i} i?0,1,2, 3于是 U=min(X,Y) P W=X+Y 0 P 0 0 0.28 (4)类似上述过程，有 1 0.02 2 0.06 3 0.13 4 0.19 5 0.24 6 0.19 7 0.12 8 0.05 1 0.30 2 0.25 3 0.17 20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布. （1） 求P{Y＞0｜Y＞X}；

（2） 设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.

题20图

【解】因（X，Y）的联合概率密度为

?1222?2,x?y?R, f(x,y)??πR?其他.?0,（1）P{Y?0|Y?X}?P{Y?0,Y?X}

P{Y?X} ?y?0y?x????πf(x,y)d?f(x,y)d?

y?x1?π/40πR2rdr ?5

πR1?π4/4d??0πR2rdrd??R 12

?3/83?; 1/24(2) P{M?0}?P{max(X,Y)?0}?1?P{max(X,Y)?0}

?1?P{X?0,Y?0}?1?x?0y?0??f(x,y)d??1?13?. 4421.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？

题21图

【解】区域D的面积为 S0?e2?11dx?lnxxe21?2.（X,Y）的联合密度函数为

1?12?,1?x?e,0?y?,f(x,y)??2x

??0,其他.（X，Y）关于X的边缘密度函数为

1?1/x1dy?,1?x?e2,??0 fX(x)??22x?其他.?0,所以fX(2)?1. 422.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和

Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. X x1 x2 P{Y=yj}=pj

【解】因P{Y?yj}?Pj?Y y1 y2 y3 1/8 1/8 1/6 2P{X=xi}=pi 1 ?P{X?x,Y?y},

iji?1故P{Y?y1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x2,Y?y1}, 从而P{X?x1,Y?y1}?111??. 682413

而X与Y独立，故P{X?xi}?P{Y?yj}?P{X?xi,Y?yi},

11?P{X?x1,Y?y1}?. 624111/?. 即：P{X?x1}?2464从而P{X?x1}?又P{X?x1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x1,Y?y2}?P{X?x1,Y?y3},

111???P{X?x1,Y?y3}, 42481. 从而P{X?x1,Y?y3}?1213同理P{Y?y2}?, P{X?x2,Y?y2}?

28即又

111P{Y?y}?1???. ,故P{Y?y}?13?j623j?13同理P{X?x2}?从而

3. 4111P{X?x2,Y?y3}?P{Y?y3}?P{X?x1,Y?y3}???.

3124故 X Y y1 1 241 81 6y2 1 83 81 2y3 1 121 41 3P{X?xi}?Pi 1 43 41 x1 x2 P{Y?yj}?pj 23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率

为p（0

mn?m【解】(1) P{Y?m|X?n}?Cm,0?m?n,n?0,1,2,?. np(1?p)(2) P{X?n,Y?m}?P{X?n}?P{Y?m|X?n}

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?Cp(1?p)mnmn?me??n??,n?m?n,n?0,1,2,?. n!24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~??2??1?，而Y的概率密度为f(y)，??0.30.7?求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为

G(u)?P{X?Y?u}?0.3P{X?Y?u|X?1}?0.7P{X?Y?u|X?2}

?0.3P{Y?u?1|X?1}?0.7P{Y?u?2|X?2}

由于X和Y独立，可见

G(u)?0.3P{Y?u?1}?0.7P{Y?u?2}

?0.3F(u?1)?0.7F(u?2).

由此，得U的概率密度为

g(u)?G?(u)?0.3F?(u?1)?0.7F?(u?2)

?0.3f(u?1)?0.7f(u?2).

25. 25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}≤1}.

解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有

?1?1?, 0?x?3,?, 0?y?3, f(y)??3 f(x)??3???0, x?0,x?3;?0, y?0,y?3.因为X，Y相互独立，所以

?1?, 0?x?3,0?y?3, f(x,y)??9??0, x?0,y?0,x?3,y?3. 推得 P{max{X,Y}?1}?26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

Y X ??1 0 1 ??1 0 1 a 0 0.2 0.1 b 0.2 0 0.1 c 1. 9其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)=??0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，记Z=X+Y.求：

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（1） a,b,c的值； （2） Z的概率分布； （3） P{X=Z}.

解 (1) 由概率分布的性质知，

a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由E(X)??0.2，可得

?a?c??0.1.

再由 P{Y?0X?0}?P{X?0,Y?0}a?P{X?0}?b?0.1a?b?0.5?0.5,

得 a?b?0.3.

解以上关于a，b，c的三个方程得

a?0.2,b?0.1,c?0.1.

(2) Z的可能取值为?2，?1，0，1，2，

P{Z??2}?P{X??1,Y??1}?0.2，

P{Z??1}?P{X??1,Y?0}?P{X?0,Y??1}?0.1，

P{Z?0}?P{X??1,Y?1}?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y??1}?0.3，P{Z?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?0,Y?1}?0.3，

P{Z?2}?P{X?1,Y?1}?0.1，

即Z的概率分布为 Z ?2 ??1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3) P{X?Z}?P{Y?0}?0.1?b?0.2?0.1?0.1?0.2?0.4.

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