杭州电子科技大学信息工程学院高数考试题目(2)

?sinx?x?x,x?0?x?0，则x=0是f(x)的( ). 5. 设f(x)??0,?1?xcos,　x?0x?（A）连续点 （B）跳跃间断点 （C）可去间断点 （D）振荡间断点 三、计算题(每题6分,共12分)(须有计算步骤) 1.求由方程ysinx?cos(x?y)?0确定的隐函数的导数

dy. dxdyd2y1?x2.设y?arctan,求、. 2dxdx1?x四、计算题(每题6分,共36分)(须有计算步骤)

?x?ln(1?t2)dy1.设函数y?y(x)由参数方程?所确定,求及对应t?0处的切线方程.

dx?y?t?arctant2.求极限limx?0?x20(et?1)dt.

2ln(1?x6)?3.计算定积分

?2??2x?sinx?cos5x?dx.

??04. 计算反常积分

?e?xdx.

5. 求不定积分

x?2?x2?2x?2dx.

?1?cos?所围成的图形的面积.

6. 计算心形线?五、(本题8分)求微分方程

dyysinx??,ydxxxx???1的特解.

六、(本题9分)求函数y?x?ln(1?x)的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.

七、（本题5分)设偶函数.

f(x)为(??,??)上连续的奇函数,证明F(x)??f(x)dx (a?0)为

ax2008年上期杭州电子科技大学信息工程学院高等数学A卷答案

一 1. 0 2. 二 ADBCB 三 1.

?101?x2dx??; 3.

412x?x2dx 4.

2; 5 ? ?2dydysinx?ycosx?sin(x?y)(1?)?0…5分 四 1.

dxdxdydydx=dt=1?1dx12?tt2?t.每一等号1分(共3分)

2dt1?t2

dyycosx?sin(x?y)dx??sinx?sin(x?y)………………dydxt?0?0………………….1分

2.

dy1dx=(1?x)?…………….2分 1?(1?x 21?x1?x)(0,0)……………………1分

= (1?x)2?2= 2………….2分 2?x2(1?x)22?x2y?0………………1分

d2y=?4x……………………………2分

dx2(2?x2)22. 解:ln(1?x6)?x6………………………………………………..1分

是0型不定式,用洛必达法则…………………………………………………1分

0x224所求极限lim?0(et?1)dt=x x?0x6lim(e?1)?2x…………………………2分x?06x54 = 14x3limx (e?1?x4)…………1分

x?0x4 =13……………………………………………1分

?3. 解:

?2??x?sinx?cos5x??dx=?xsinxdx………………………………3分

2?2?21分

切点

切线方程

? =2

?20xsinxdx=?2xcosx?02?2?2cosxdx………….2分

0? =2………………………1分 4. 解:令

t?x,x?t2,dx?2tdt………….2分 5.

?x?21x2?2x?2dx=?2(2x?2)?3

x2?2x?2dx……………..3分 ????xt0edx=

2???0te?dt…………………1

=?1d(x2?2x?2)3…….12x2?2x?2??(x?1)2?1dx=

?2te?t??t0?2???0e?dt……..1

=12ln(x2?2x?2)?3arctan(x?1)?c…2分(缺C给1分) =?2e?t??0…………………….1分

=2………………………………1分

6. 解: 图形的面积A?1?2??2d?………………………………………………..2分

20 =12?2?0(1?cos?)2d????(1?cos?)2d?…………….1分

0 =

??3?……………………...3分

0(1?2cosx?cos2?)d?=2五 解:方程的通解为y?e??p(x)dx[?q(x)e?p(x)dxdx?C]………2分

=e??11xdx[?sinxe?xdxdx?c]………2分

x =1x[?sinxdx?c]…………………1分 =c?cosx…………………………1分

x 由初始条件yx???1得c???1…………1分

从而方程的特解为y???1?cosxx…………………1分

六 解:定义域为(?1,??)……………1分 y??1?1?x…………1分

1?x1?x分 分 分

y???1…………………1分 (1?x2) 驻点为x?0……………………1分 当?1?x?0时，y?<0 故函数在(?1,0]上单调减少………1分

当x?0时，y?>0 函数在[0,??)上单调增加………………1分 因此驻点x?0处函数取到极小值,极小值为0………………………1分 因y???0恒成立,故函数在(?1,??)为凹的……………………2分 七 证明:

F(?x)???xaf(x)dx??x?xaf(t)dt…………………………………..1分

令t??u……………………………………………………1分 则F(?x)???xaf(t)dt=??f(?u)du………………..1分

?a = =

?x?aaf(u)du…………………….1分

f(u)du??f(u)du=?f(u)du……………………1分

aaxx??a =F(x)

2009年上期杭州电子科技大学信息工程学院高等数学B卷答案

一 1.

s?(c1?c2t)e?2t 2. exe?1?ex1 3 ? 4. 有 5. ?ex?c

4二 ADCBD

?lim(1?tanx)三 1. 解: =lim?(1?tanx)x?0x?0?1x1tanx???tanxx----3分 2 解:求微分

eydy?ydx?xdy?0,.……4分

=e……………………………………..2

分

?dy?

?ydx……………………..1分 ye?x3. 解: 定义域

(??,??)………………………1分 四1 解: 定义域

(??,??)， f?(x)?3(x2?1), 驻

y??arctanx?x…………………….1分 点x??1.....2分 21?x

11?x2

,当x?1时，f?(x)?0y????2221?x?1?x?故函数f(x)的

=

2?1?x?22?0…………………………2分 单调增加区间为

(??,?1],[1,??)……………….2分

故曲线y?xarctanx在定义域(??,??)是上凹的..1分 当x?1时，f?(x)?0,故

函数f(x)的

单调减少区间为

[?1,1]………………….2分

2.解:

t??6对应点为(11,)…………………………..1分 22?6dy?2sin2tdy?,此点处切线斜率dxcostdx切线方程:y?2x?t???2sin2tcostt??6??2……………………..3分

3?0…………………………………………….2分 23. 解:

x?cos2xdx=?xdtanx…………………………….2分

=xtanx??tanxdx…………………..2分

cosx?c……………….2分

=xtanx?ln 4. 解:令t

?2?x,x?2?t2,dx??2tdt,……………2分

?101xdx=?2?(2?t2)dt………………..2分

22?x131 =?2(2t?t)…………………1分

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