材料成型基本原理（下）(2)

材料成形基本原理（下）

纯切应力状态：是平面应力状态的特殊情况，两个主应力在数值上相等，但符号相反。 6. 等效应力有何特点？写出其数学表达式。

答：等效应力的特点：等效应力不能在特定微分平面上表示出来，但它可以在一定意义上“代表”

整个应力状态中的偏张量部分，因而与材料的塑性变形密切有关。人们把它称为广义应力或应力强度。等效应力也是一个不变量。其数学表达式如下： 等效应力在主轴坐标系中定义为

??1212?(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?3J2

222在任意坐标系中定义为 ??(?x??y)2?(?y??z)2?(?z??x)2?6(?xy??yz??zx)

7. 已知受力物体内一点的应力张量为

80??5050???ij??500?75??80?75?30??? （MPa），

试求外法线方向余弦为l=m=1/2，n=解：设全应力为S， sx，

12的斜切面上的全应力、正应力和切应力。

sy, sz分别为S在三轴中的分量，

?Sx??xl??yxm??zxn??Sy??xyl??ym??zyn??Sz??xzl??yzm??zn? 则有:

?sx=50?+ 50?+80?12121=106.6 2111=-28.0 sy=50?+0?-75?222111=-18.7 sz=80?-75?-30?222222S2?Sx?Sy?Sz 则得到 S ＝111.79 MPa 则得到 ?＝26.1 MPa

??Sxl?Sym?Szn222而??S?? 则得到 ?＝108.7 MPa

8. 已知受力体内一点的应力张量分别为

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材料成形基本原理（下）

0?10??10?01720???7????①??0， ②??1720， ③????4?1000?????ijijij??10?0?0010?0100???????4?100??0? (MPa) ?4??1） 画出该点的应力单元体；

2） 求出该点的应力张量不变量、主应力及主方向、主切应力、最大切应力、等效应力、应力偏张

量和应力球张量；

3） 画出该点的应力莫尔圆。 解：(解答参见课本P253例题) 1）略

2）在①状态下： J1=?x+?y+?z=10

J2=-(?x?y+?y?z+?z?x)+?xy+?yz+?zx=200 J3=?x?y?z+2?xy?yz?zx-(?x?yz+?y?zx+?z?xy)=0

32??J??J2??J3?0 1由

222222??1＝20 ， ?2＝0 ， ?3＝-10

1l1?21l2?2m1?0n1??1212m2?0n2?代入公式对于?1＝20时：

l对于?2＝0时： 对于

?3＝－10时：

?1??2： 主切应力

?12????102l3?0m3?1n3?0?31??

?3??12??15?31???3??12??157

最大切应力

等效应力：???23???2??32材料成形基本原理（下）

??51? ＝700 (?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?3J22应力偏张量：

??2030?10?????20??ij???0?40?x?3?30??????10020?3???＝13(???110m12??3)＝3(20?0?10)?3

??40 故

y??3??20

z?3

应力球张量：

??1000??3??10?030?????0010??3??

9. 某受力物体内应力场为：?x??6xy2?c31x， ?2y??32c2xy，?z??yz??zx?0，试从满足平衡微分方程的条件中求系数 c1、c2、c3。解：

??x????6y2?3c1x2;y??xy?x??2c3y??y?y??3c2xy

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xy??c2y3?c3x2y，

?

材料成形基本原理（下）

??yx?y

??3c2y2?c3x2由平衡微分条件：

??6y2?3c1x2?3c2y2?c3x2?0??2c3xy?3c2xy?0?

??yx?y

???zy?z???zx??xz??z???0?x?x?z?c1?1???c2??2?c?3?3

第十四章 应变分析

1. 陈述下列术语的物理含义：位移，位移分量，线应变，工程切应变，对数应变，主应变，主切应变，最大切应变，应变张量不变量，等效应变，应变增量，应变速率，位移速度。

答：位移：变形体内质点M（x，y，z）变形后移动到M1，我们把它们在变形前后的直线距离称为

位移；

位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量； 线应变：表示线元的单位长度的变化；

工程切应变：单元体在某一平面内发生了角度的变化； 对数应变：对数应变真实反映变形的累积过程，表示在应变主轴不变的情况下应变增量的总和； 主应变：发生在主平面单位面积上的内力称为主应力； 主切应变：发生在主切平面上的应变；

最大切应变：主切应变中绝对值最大的一个称为最大切应变

应变张量不变量：对于一个确定的应变状态，主应变只有一组值，即主应变具有单值性。由此，

应变张量I1、I2、I3也应是单值的，所以将I1、I2、I3称为应变张量不变量。

等效应变：一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或压缩方向上的线应变?1。等效应变又称广义应变。

应变增量：塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量

应变速率：单位时间内的应变称为应变速率。

位移速度：质点在单位时间内的位移叫做位移速度。

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材料成形基本原理（下）

2. 如何完整地表示受力物体内一点的应变状态？

答：质点的三个互相垂直方向上的9个应变分量确定了该店的应变状态。已知这9个应变分量组成

??x?一个应变张量，用?ij表示，则?ij???yx??zx??xy?xz???y?yz?，?ij即可完整的表示受力物体内的应变状?zy?z??态。

3. 应变偏张量和应变球张量代表什么物理意义？

答：应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量，应变偏张量表示单元体形状变化，应变球张量

表示单元体体积变化。

4. 应变张量和应变偏张量有何关系？

答：应变张量与应力张量具有同样的性质，主要有：

（1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有主应变而无切应变。用?1、?2、?3表示主应变，则主应变张量为

??100????ij??0?20??00??3??

主应变可由应变状态特征方程

?3?I1?2?I2??I3?0

求得。

（2）存在三个应变张量不变量I1、I2、I3，且

I1??x??y??z??1??2??3I2??[(?x?y??y?z??z?x)?(?xy??yz??zx)]??(?1?2??2?3??3?1)222?x?xy?xz?100I3??yx?y?yz?0?20??1?2?3?zx?zy?z00?3对于塑性变形，由体积不变条件，I1?0

（3）在与主应变方向成45?方向上存在主切应变，其大小为

?12??(?1??2)12，

?23??(?2??3)12，

?31??(?3??1)12

若?1≥?2≥?3，则最大切应变为

（4）应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量

?max??(?1??3)1210

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