线性代数模拟试卷一及答案

线性代数模拟试卷一及答案

（考试时间：120分钟）

一、填空题（每小题3分，共15分）

1.行列式D中第2行元素的代数余子式之和A21+11-11111-11111-10120??3?4??A22+A23+A24= ，

其中D=111。

2.设3

??2?阶矩阵A??0?0?,则A?1等于 。

3.设向量组?1,?2,?3线性相关，而向量组?2,?3,?4线性无关，则向量组

?1,?2,?3的最大线性无关组是 。

4.3阶实对称矩阵A的特征值为2、5、5，A属于特征值2的特征向量是

?1?（1，1，1）T，则

A属于特征值5的两个线性无关的特征向量可以取为__ 。

2x4?3???4??4???2?_ ；?3?5.已知3则x?5?阶矩阵A??4?6?和3

?1?阶矩阵对角矩阵B??0?0?0200??0?相似,3???___ _____。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.设向量组?1 A.?C.??0???,1,1?T,?2??1,?,1?T,?3??1,1,??线性相关，则必有

（ ）

T 或 ??1 B.? D.???1 或 ??2

?1 或 ??2 ?1 或 ???2

2.设?是n维列向量，?为实数，则向量λα的长度??= A.??

( )

nB.??? C.?n?? D.???

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3.若向量组?1,?2,?,?r可由另一向量组?1,?2,?,?s线性表示，则 ( ) A.r?s

r(?1,?2,?,?s)

B.r?s

r(?1,?2,?,?s)C.r(?1,?2,?,?r）?D.r(?1,?2,?,?r）?

4．设n阶矩阵A与B相似，则必有 A.A,B同时可逆或同时不可逆 C.A,B均与同一个对角矩阵相似 5. 设A为n阶矩阵，满足A2A. C.

AA（ ）

-A与λE-BB.A,B有相同的特征向量 D.矩阵λE，且A1B. D.

AAE相等

（ ）

=A，则

为可逆矩阵 为不可逆矩阵

为零矩阵 为对称矩阵

三、计算题（每小题10分，共60分）

1?1302011043426371.计算行列式

D?32?1的值

骣1??2.设A=??1???0桫0-11骣1÷3?÷?÷?10÷B=，?÷?÷?÷?2÷0桫1÷÷÷0÷，X÷÷÷4÷为未知矩阵，且满足：AX=B=B。

（1）求逆矩阵A-1；（2）解矩阵方程AX

。

骣骣骣骣骣112鼢21 珑鼢珑 珑鼢珑鼢 鼢鼢珑珑 -1 鼢鼢0215珑鼢珑鼢 珑鼢 鼢3.已知一个向量组为α1=珑 ,α=,α=,α=,α=35珑鼢2珑鼢4 珑珑 3 2鼢03鼢-1鼢鼢珑珑 鼢珑鼢珑 鼢鼢珑珑 鼢鼢 珑珑 -1 1124桫桫桫桫桫（1）求该向量组的一个极大线性无关组及该向量组的秩；（2）并把其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。

?x1?3x2?x3?2x4?4??2x1?7x2?4x3?3x4?64. 解线性方程组??x1?4x2?3x3?x4?2?3x2?6x3?3x4??6?

并将全部解用对应的齐次线性方程组的基础解系线性表示。

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?3?A?5.求矩阵??1?0?0201??1?的全部特征值和特征向量。 3??

6. 已知实二次型

f(x1,x2,x3)=x1-2x2+x3+2x1x2-4x1x3+2x2x3,

222（1）写出其矩阵表达形式;（2）求可逆线性变换X形。

=CY，将其化为标准

四、证明题（每小题5分，共10分）

1.若A是n阶对称的可逆矩阵,证明：A-1也是对称矩阵.

骣2??阶实对称矩阵A=??-1???-3桫-124-3÷÷÷4÷，证明：A÷÷÷9÷2.给定3为正定矩阵。

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线性代数统考试卷参考答案与评分标准 2009.1

线性代数统考试卷参考答案与评分标准

（考试时间：120分钟）

一、填空题（每小题3分，共15分）

??1/2?1.0；2.?0?0?0?21??TT3/2；3.?2,?3；4.（1，0,?1）；5.5。 （1，?1，0），??1/2??0二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.D；2.B；3.C；4．A；5.C。

三、计算题（每小题10分，共60分）

1-1302293-19293-22-1-21-1÷÷÷-1÷ ÷÷÷1÷04342637=1000-1621043420-191.解：D=32-1 4分

1=0001=000-1100-110004-5-504-50骣2??=??2???-1桫 7分

=110 10分

2.解：A-14分

X=A骣2珑珑珑2珑珑珑珑-1桫-1B 骣-1鼢3鼢鼢-1鼢1鼢鼢鼢1鼢0桫0111骣5 0= 4 -24桫-2-32-2 -2 3 7分 10分

-1-213.解：以α1,α2,α3,α4,α5为列向量组作矩阵A，并施行初等行变换，直至化成行简化阶梯形

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线性代数统考试卷参考答案与评分标准 2009.1

骣1珑珑珑0珑A=珑珑珑2珑珑珑珑1桫骣1???0?????0????0桫0100120121323/21/20025-1400101鼢鼢鼢-1鼢鼢鼢 鼢3鼢鼢鼢鼢-1鼢1÷÷÷2÷÷÷ ÷-1÷÷÷÷0÷骣1000桫12-2021-1025-521-11-2

4分

该向量组的一个极大线性无关组可取为：α1,α2,α4

r(α1,α2,α3,α4,α5)=3

3126分 8分 10分

4-2-2-6且：a3=2骣1珑珑珑2珑珑4.解：A=珑珑1珑珑珑珑0桫α1+α2+0×α4；a5=α1+2α2-α4

374351436231-310÷÷÷-2÷÷÷÷ 0÷÷÷÷0÷4鼢鼢鼢6鼢鼢鼢 鼢2鼢鼢鼢鼢-6鼢骣1000桫311312262-1-1-3

骣1???0?????0????0桫0100-5200-1005分

ì?x1=10+5x3-5x4一般解：?，x3,x4为自由未知量 í?x2=-2-2x3+x4??7分

通解为：

?x1??x2?x?3?x?4??5???5??10???????????2??1???2?c1,c2为任意常数。 10分 ?c?c?1?2??????100???????????????0??1??0??λ?30λ?20?1?1λ?3=(λ?2)(λ?3)

25.解：λE?A=103分

所以得A的全部特征值为：?1?2,?2??3?3

T5分

对?1?2，得特征向量a1=（0,1,0），对应于?1?2的全部特征向量为

k1a1,k110；

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8分

线性代数统考试卷参考答案与评分标准 2009.1

对?2??3?3，得特征向量a2=(1,-1,0)，对应λ2=λ3=3的全部特征向量为

k2α2,k210

骣1珑珑fx1,x2,x3)=（x1,x2,x3)珑6.解：（1）（珑1珑珑珑-2桫22T10分

1-21骣-2鼢x1鼢鼢1鼢x2 鼢鼢鼢1鼢x3桫222分

（2）f=x1+2x1(x2-2x3)+(x2-2x3)-2x2+x3+2x2x3-(x2-2x3)

2=(x2221+x2-2x3)-3x2+6x2x3-3x3 =(x21+x2-2x3)-（3x2-x23）

ì??y1=x令：?1+x2-2x3?í?y2=x2-x3， ????y3=x3ì??x1=y1-y2+y即所做可逆线性变换?3?í?x2=y2+y3 ????x3=y3可将原二次型化成标准型：（fx21,x2,x23)=y1-3y2 5分，共10分）

1.证明：因为AT=A，A可逆

那么：(A-1)T=(AT)-1 =A-1

所以A-1也是对称矩阵。 2.证明：因为A的三个顺序主子式 D1=2>0；

D2-12=-12=3>0； ?3?A?1?0全大于零

所以A为正定矩阵

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6分

9分

10分

3分

5分

2分

5分

四、证明题（每小题

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