中厚板的弯曲问题理论研究进展(2)

对于多变量函数的泛函变分问题, 康托洛维奇提出设泛函的自变函数为满足边界条件的函数系列?k( x1，x2，…xm?1)及待定函数Ak(xm?1)，将变分问题的近似解写成：

u(x1,x2,?,xm)?其一级近似式为

?Ak(xm)?k(,x,?,xm121n?1)

u(x1,x2,?,xm)?A(xm)?(1,x2,?,xm?1)

将式中右端两函数之一选定为满足边界条件的某种函数，由泛函变分极值条件得到关于另一函数的常微分方程，进而求出此方程的近似解，便得到问题的一级近似解。

设有两个自变量和两个自由函数的泛函具有：

?[u(x,y),v(x,y)]???F(x,y,u,u?,?,u(n),v,v?,?,v(n))dxdy取u,v的一级近似表达式为：

u(x,y)?Au(x)?u(y)??v(x,y)?Av(x)?v(y)?

式中

?u?y?，

???y? 为满足y 方向边界条件的试函数。将式(13)代入式(12)并

沿y积分有：

?(x),?,Au(n)(x),Av(x),Av?(x),?,Av(n)(x))dx???(F(x),Au(x),Au

使泛函极值?π=0实现的两个函数A?(x)和AA?(x)应当满足欧拉方程和相应的边界条件：

dd2FAu?FAu??2FAu?????(?1)ndxdxdd2FAv?FAv??2FAv?????(?1)ndxdx?dnF?0(n)??dxnAu?ndFA(n)v?0?n?dx?

显然，上式为常微分方程。一般来说，求解式(15)的过程较复杂，特别是对于二阶以上近似解就更为复杂，为此，本文选取满足边界条件的试函数：

?Au(x)??aiAu(x)??i?1?rAv(x)??biAv(x)??i?1?

将式(16)代入式(15)，得到包含有待定关系ai 和bi的残值Ra和Rb，取权函数Wair和Wbi使得残值在某种平均意义上等于零。

?WaiRadx?0???WbiR?bdx?0??

据此，可得到用于求解待定系数ai、bi (i = 1, 2,…, r ) 的代数方程组。最

后得到问题的近似解。

现以x方向为例，给出适合于不同边界条件的试函数。 (1) 简支——简支

x?0,x?a:W?2Wbb?Ws?0,?x2?0

试函数:

u?b(x)?us(x)?sinmax,(m?1,2,?)

(2) 固端——固端

x?0,x?a:WWbb?Ws?0,??x?0

试函数:

ub(x)?1?cos2m?ax,us(x)?sinm?ax

(3) 固端——简支

试函数:

x2x3ub(x)?3x4x3x2xa2?5a3?a4,us(x)?a3?a2?2a(4) 固端——自由

x?a:?2Wb?0,?3W?W?x2?x3?0,s?x?0

试函数:

ub(x)?1?cos(5) 简支——自由

试函数：

(2m?1)?m?x,us(x)?sinx2aa

ub(x)?

1. 有限元法

xm?,us(x)?sinxaa

在板壳有限元分析中，位移型非协调元薄板单元得到成功的应用，解决了大量的工程问题。随着各种新型材料的出现和广泛应用，构造计入横向剪切变形的板单元是非常必要的。在位移型单元研究方面，已经提出了一些厚薄板通用的单元。

以Reissner- Mindlin理论为基础，构造了一种计入横向剪切变形的矩形板单元；在位移模式中，挠度和转角采用不同阶次的插值函数。数值算例表明，该单元对工程中的薄板、中厚板均能得到令人满意的数值结果。 1. 有限元公式 基本符号与关系式

?f????W?x?y?? 广义位移向量

TT???????KKK???K??xyxyxy???? 广义应变向

TTT?K?曲率和扭率 ???几何关系

式中

????X?Y?? ?KxKyKxy??,?????TTT?M????MxMyMxyQxQy?? 广义应力向量

???L???f?

??0???0????L????0??????x???????y弹性关系 式中

???x0???y?10?0??????y??????x???0????1??

?M????D?????

?Db??D????0??0??;Da????0??10?;1???0?2?

??13?Et??D???b?2?12(1??)??0?

??Da???5Gt6?10???.?01?其中,E,G为弹性模量,μ为泊松比, t为板厚。 2. 单元位移模式

图1所示为计入横向剪切变形的板单元。

??????W结点位移向量为iei?xi?yi??T(i?1,2,3,4)T

TTTT??????????234??1单元结点位移向量

引入无量纲坐标??x/a,??y/b 单元的位移场取为

?W(x,y)???FW????????X(x,y)???F??????????Y(x,y)???F???????

式中

2222??;??F?1??????????W?????F?????1??????;???????????1?2?3?4?5?6?7?8??;?????????1?2?3?4??;TTT

要确定式中广义坐标，仅有结点条件是不够的，为此提出

?????????1?2?3?4??.?5??a2?2,?7??a2?4,?6??b2?3,?8??b2?4

利用结点位移条件，可得：

?f???i?14??Ni????i????N?????e?Ni???N??0?i????0NxiNi0Nyi??0??Ni??Ni?NxiNyi 3. 单元的应变和应力

?1(1??i?)(1??i?)?4?a??(1??i?)(?2?1)?8??b2?(1??i?)(??1)?8?

单元的应变式中

???????Bi????i????B?????i?14ee

??Bi?????L????Ni??

单元的应力式中

?M????D??????????Si????i????S?????i?14ee

??Si?????D????Bi??

4. 单元刚度矩阵 单元的刚度矩阵为：

??k???e????B??T??D????B??dxdy

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