中厚板的弯曲问题理论研究进展

中厚板的弯曲问题理论研究进展

古典的薄板理论，对世纪板进行分析的时候引入了克希霍夫-勒夫假设，假定板的横向变形为零，形式上相当于假定垂直于板中面的各个面内剪切模量无穷大，而板的其他各个方向的弹性常数仍是真是材料的弹性常数。或者说，在古典薄板理论中，用这种各向异性材料代替了真实的各向同性材料。在大量由板壳组成的工程结构中，根据Kirchhoff假设建立的薄板近似理论的计算结果已经满足工程计算的精度，但如果板比较厚，或者即使板很薄，在集中力作用点附近以及薄板边界周围，近似理论不仅不能取得满意的结果，甚至会导致错误的结论。近似理论的这些缺点要求研究者提出一些新的假定，建立新的理论，它既能避免数学方面的困难，又能克服采用Kirchhoff假定忽略横向剪切应变所引起的误差。随着工程技术要求的不断提高，薄板与薄壳理论已无法满足要求，促使国内外力学工作者对厚板壳理论与中厚板壳理论进行了大量的研究。

为解决上述问题，在二十世纪中期，以赖斯纳（Reissner）为代表的一批学者，提出了考虑剪切变形的板的理论，一般称为中等厚度板（中厚板）理论。Reissner关于中厚板的基本假设有：

1. 与薄板理论相同，应力?x,?y,?xy沿板厚仍是线性分布的。

2. 横剪力Qx,Qy引起的变形不能略去。即薄板理论的基本假定?xz??yz?0不成立。

Reissner 首先采用直线假设， 即变形前垂直于中面的直中法线变形后仍为直线，代替直法线假设，考虑了横向切应力对板变形的影响，该理论同时计及法向应力对应变的影响，采用广义余能的变分原理导出考虑剪切变形的基本方程以及边界条件，最终得到如下一组的基本方程：

Qx?Qy?h210?Qx?Qy22?h2?p2??D(??)??x10(1??)?x?h2?p2??D(??)??y10(1??)?y

h210?Qy?Qx??p(x,y)?0?x?y消去Qx，Qy，得到六阶偏微分方程：

h22??2D????q??q101?? （1） 2h2?????02210式中w为壳中面挠度，q为横向荷载，θ为中面法线转角。(1)式的定解问题在每一条边上需要3个自然边界条件。

MxMyMxy?2??2?h2?Qx?h2??D(2??)??p25?x10(1??)?x?y?2??2?h2?Qx?h2??D(2??)??p25?y10(1??)?y?x?Qy?2?h2?Qx??D(1??)?(?)?x?y10?y?x

Reissner用此理论研究了矩形板的扭转和有圆孔的无限大板的弯曲、扭转。之后Green A，Mindlin R D相继发展了Reissner 理论。几乎在Reissner 理论的同时，Hencky H也提出横向剪切的精化理论，假设位移u ，v 是z的线性函数，横向剪切力与z无关。因此实际上是考虑横向切应力平均值对板变形的影响。该假设忽略法向变形z的影响，利用Lagrange 的虚位移原理，导出与( 1) 中第1式相似的挠度方程式及包括转角的六阶方程组。50 年代初期， Kromm A 提出另一种精化理论。他力求严格满足三维弹性体应力平衡方程，以克服Reissner 和Hencky论中的不足之处。其主要特点是假定?z,?xz,?yz是z 的函数，由应力、应变关系、应力平衡微分方程和上下两面边界条件， 最终得到基本方程组为：

??E1??2zz?2?21???p?\?????f(z)?f(0)?qx????qxf1?z??011???x1???x???2?21???p?\?????f(z)?f(0)?qy????qyf1?z??0 11??2?y1???y?1???E?22?z???f1(z)?f1(0)??2p?f\1?z?p?0??2?x1??1??式中函数f(z)为挠曲函数， 即根据变形状态是弯曲还是剪切进行选择。

E苏联学者Bπacob B ?在1957年提出考虑切应力对变形影响的平板理论，假定变形前垂直于中面的直法线变形后发生扭曲，且剪切沿厚度方向按抛物线规律分布；平板处于平面应力状态等。利用Lagangian变分方程导出的方程组与Reissner 理论相比，可以发现后者方程中被略去的项和保留的项都属(h/a)2阶的量。1975年Vladimir Panc在他的专著中介绍了各种主要的精化理论，包括由他提出的逐次近似法。该法的基本思想是经典理论解属第1次近似解，第2次近似是利用经典理论的解计算横向切应力τx z，τyz 对板变形的影响以修正直法线假设引起的误差，第3次近似是考虑与横向切应力相应的齐次应力状态。所导出的方程组与Reissner理论相比，扭矩表达式完全相同，而其余内力因素和平衡基本微分方程式只是在一些次要项上有差别，这是因为逐次近似理论中没有包括法向应变εz 的影响。Levinson M提出一种精化理论，与Reissner- Mindlin理论相比新理论允许板变形时法线可以扭曲，因此有可能满足上下表面切应力自由的条件，依此就能导出以挠度w，中面处横截面转角?x，?y 为变量的3个解偶微分方程，由这组方程得到的各种载荷下周边简支板的结果比Mindlin 理论更加精确。其实该理论的基本假设、位移表达式和基本方程式与上述Bπacob理论完全相同，唯一的差别只是中面内线素的旋转角的正向定义与后者正好相反。上述这些精化理论，特别是Reissner理论，目前广泛应用于复合材料板壳理论、板壳断裂和板壳有限元分析中。

随着计算机的发展，数值计算越来越得到人们的重视，在此基础上发展了关于厚板理论的一系列数值计算方法，比如有限元法，加权残差法，差分法，变分法，边界元法，有限条法等许多近似方法。本文中将主要简单地介绍下具有代表性的运用比较广泛的加权残差法以及有限元法。 1. 加权残数法

在工程技术和科学研究中，我们经常会遇到各种各样的定解问题。即在一定的几何边界条件或初始条件下，求解问题的控制方程，而目前关于控制方程中的微分方程或积分方程的研究，仅仅能得到少量问题的精确解。因此，大量的定解问题只能通过近似求解来实现。加权残数法就是诸多近似方法中的一种。加权残数法用于解板的弯曲问题，需要在全域内积分或配点，配点数量及位置都直接影响计算精度。

1.1 中厚板弯曲的基本方程

现在考虑一中厚板，厚度为h，承受横向分布荷载q(x，y)作用。对于各向同性中厚度矩形板的弯曲，为了简化方程，引入函数F(x，y)和f(x，y)，得到转角和挠度方程为：

?W(x,y)?F(x,y)?f(x,y)?????x?x?y??W(x,y)?F(x,y)?f(x,y)?????y?y?x??D2W(x,y)?F(x,y)??(x,y)?G?

而函数F(x,y)和f(x,y)满足方程：

?4F(x,y)??2f(x,y)?1Dq(x,y)?0,2Gf(x,y)?0.(1??)D

式中D为板的抗弯刚度，G 为抗剪模量，ν为泊松比。

板的内力方程为：

??2F?2F?2f??Mx(x,y)??D?2??2?(1??)???x?y???y??x?22??2F??F?f?My(x,y)??D?2??2?(1??)???x?y?y?x?????2F1?2f?2f???Mxy(x,y)??D(1??)????22?2?x?y?y?x???????3F?3F??f??Qx(x,y)???D?3??G????y??x?y2?????x??????3F?3F??f?Qy(x,y)???D?3??G??2??x?y?y?x????????考虑到板的静力平衡, 则得中厚板的基本方程：

D?W(x,y)?q(x,y)??2Qx(x,y)?124kh26(1??)12?2q(x,y),?2?W(x,y)?22?xkhkh1212?2?2Qy(x,y)?Q(x,y)?D?W(x,y)?y22?ykhkhQx(x,y)?D1???q(x,y)?1???x???1???q(x,y)?1???y??

其中k为截面系数。

根据分解刚度法, 得到板的总势能泛函为：

???b??s

其中，

?b?12?????s1?2???D?????C?????2W??b2???x?????2Wb??2????y??22???2Wb?2Wb?2Wb???2qWb??2??2(1??)??dxdy,22??x?y??x?y????????W?2??W?2??ss????????2qWs?dxdy,?x????y???????式中Wb、Ws 分别为板的弯曲和剪切挠度，πb、πs 分别为板的弯曲和剪切势能。

1.2 加权残数解法

弹性力学问题常可归结为求一未知的(列阵)函数μ，使其在给定域内满足该问题的偏(或常)微分方程及边界条件，即：

F(u)-f=0 (在?域内) P(u)-p=0 (在S界上)

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