高等数学能力应用题

高等数学应用（建模）题

（图书馆参考图书：高等数学应用205例） 1．货币兑换问题

已知美元兑换成加拿大元时，币面数值增加12%，把加拿大元兑换成美元时，币面数值减少12%。某人准备从美国到加拿大去度假，他把1000美元兑换成加拿大元，但因故未能去成，于是他又将加拿大元兑换成了美元，问他是否亏损？

解：设f1(x)为将x美元兑换成的加拿大元数，f2(x)为将x加拿大元兑换成的美元数。则：

f1(x)?x?x*12%?1.12x，f2(x)?x?x*12%?0.88x，

1000?1.12?0.88?985.6，

1000-985.6=14.4，即亏损14.4美元。

2．住房是居民消费的一个重要部分。大部分选择银行按揭贷款，然后再若干年内逐月分期还款。如果你借了10万元，还款额一定超过10万元。

设贷款总额为x0，贷款期限为N个月，采取逐月等额方式还本息。若xk为第k个月的欠款数，a为月还款数，r为月利率。我们得到下列迭代关系式：xk?1?(1?r)xk?a 那么，xk?(1?r)xk?1?a

?(1?r)2xk?2?(1?r)a?a

?......

1

?(1?r)kx0?a[1?(1?r)?...?(1?r)k?1] ?(1?r)kx0?a[(1?r)k?1]/r

(1?r)Nrx0当k?N时，xN?0。由此可以得到月还款计算公式：a? N(1?r)?1例题1：农夫老李有一个半径为10米的圆形牛栏，里面长满了草，老李要将家里一头牛拴在一根栏桩上，但只让牛吃到一半草，它想让上大学的儿子告诉他，栓牛鼻的绳子应为多长？

例题2：通道中的细杆

要运送一根细杆通过由宽5m和宽10m的通道垂直交叉口，在运送过程中必须保持细杆水平，问这根细杆最多可以多长？又通道为圆柱形的且细杆不必保持水平，细杆至多可以有多长？

10m

5m

3．房租如何定价使利润最大

一房地产公司有50套公寓要出租。当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去。当租金每增加10元时，就有一套租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。试问房租定为多少可获得最大收入？

解 设租金为x元/月，租出的公寓有50???x?180??套，总收入为

?10?x?180xR?(x?20)(50?)?(x?20)(68?)1010

x1x令R?(x)?(68?)?(x?20)(?)?70??0，得唯一驻点x?350，此

10105 2

时R??(350)???0。所以，当租金定为350元/月时可获得最大收入，最大收入为10890元。

*4．拉船靠岸问题

如图所示，在离水面高度为h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，假定绳长为l米，船位于离岸壁s米处，试问：当收绳速度为v0米/秒时，船的速度、加速度各是多少？

15

解：l、h、s三者构成了直角三角形，由勾股定理得l2?h2?s2 （1） 两端同时对时间求导，得2ll为绳长，按速度定义，

dldsdlds?0?2s，即l?s （2） dtdtdtdtdl即为收绳速度v0，船只能沿s线在水面上dtds行驶逐渐靠近岸壁，因而应为船速v，将它们代入（2）式得船速

dtlv?v0 （3） s利用（1）式消去l，得

（注：原先v是t的函数，现改为s的函数）

（4）中h，v0都是常数，只有s是变量。按加速度定义

v?h2?s2v0s（m/s） （4）

dvdvdsh2a????(?v0)v222dtdsdtsh?s 2h2v0a??2s（m/s） （5）将（4）式代入上式，得

（这里的负号表明加速度的方向与x轴的正向相反）

*5．飞机俯冲时机翼影子的速度

一架飞机沿抛物线y?x2?1的轨道向地面俯冲，如图所示，x轴

3

取在地面上。机翼到地面的距离以100m/s的固定速度减少。问机翼离地面2501米时，机翼影子在地面上运动的速度是多少（假设太阳光线是铅直的）

解：机翼到地面的距离以100m/s的速度递减，所以机翼垂直下降的速度是

dy??100（取负号是因为下降，方向向下）。 dtdxdx，故本题是求当y?2501时，=？ dtdt因为太阳光是垂直的，所以机翼影子在地面的运动速度就是飞机机翼的水平速度

2等式 y(t)?1?x(t) （1）

dydx?2x （2） dtdt由（1），有x(t)?y(t)?1，当y?2501时，x??50. dydx把??100，x??50代入（2）即得=1（m/s） dtdt两边对t求导，得

*6．如何选择最优批量

某工厂生产某型号车床，年产量为a台，分若干批（每一批台数相同）进行生产，每批生产准备费为b元，设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批（不考虑生产需要的时间），即平均库存为批量的一半。设每年每台库存费为c元。显然，生产批量大则库存费高，生产批量少则批数增多，因此生产准备费高。如何选择批量，才能使一年中库存费与生产准备费的和最小。

解：设批量为x，库存费与生产费的和为P(x)，首先求出P(x)。 因年产量为a，所以每年生产的批数为，则生产准备费为b?，

4

axax

因年库存量为，故年库存费为c?，因此可得

P(x)?abc?x，x?(0,a]. x2x2x2其次，在不考虑生产能力的条件下，问每批生产多少台（即批量）时，P(x)为最小？

这是一个一元函数极值问题，对P(x)求导得

P?(x)??abc2ab2ab??，令，得，舍去负根，得驻点， P(x)?0x??x?2x2cc2ab2ab?0，因此，当时，P(x)取得极小值即最小值。 x?3xc又因P??(x)?2ab。 c于是得出：要使一年中库存费与生产准备费之和最小的最优批量应为

7．您的书写灯应该挂多高

一个灯泡吊在半径为r的圆桌的正上方，桌上任一点受到的照度与光线的入射角的余弦值成正比（入射角是光线与桌面的垂直直线之间的夹角），而与光源的距离平方成反比。欲使桌子的边缘得到最强的照度，问灯泡应挂在桌面上方多高？

cos?，其中k为比例常数，R为2R灯 灯到桌子边缘的距离。设h为灯到桌面的距离，

解：如图，在桌子边缘处的照度A?k?于是R2?r2?h2，cos??所以A?k?h(r2?h)322hh ?22Rr?h，

232213(r?h)?h??(r2?h2)2?2h2?0 对h求导，A??k?3(r2?h2)2h?R得r2?h2?3h2?0，h?2r, 2容易验证此时A取得最大值。

（做了这道题后，当您在晚上阅读或书写时，是否考虑设计一下您的书写灯的位置，使您在学习时能得到最佳的照度？）

8．何处看塑像最好

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