第6章 习题解答(3)

H(z)?n????0.9T?1z?1，则 若e?h(n)z??n??en?0??0.9nTz?n??(e?0.9Tz?1)n

n?0?H(z)?11?e?0.9Tz?1

?0.9T若存在H(z)，则该系统只有一个极点，且其值为zp?e?0.9T，因为T?0，e永远小于1，也

就是说该系统的极点在单位圆内，则此系统无论T取何值时，总是一个稳定系统。

该数字滤波器近似为低通滤波器。且T越小，滤波器频率混叠越小，滤波特性越好。反之，T越大，极点zp?e?0.9T离单位圆越远，???附近衰减越小，而且频率混叠越严重，使数字滤波器频响特性不能模拟原模拟滤波器的频响特性。

［15］假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器，又知H(z)?Ha(s)s?z?1，数字滤波器H(z)的

z?1通带中心位于下面那种情况？并说明原因。

(1)??0（低通） (2)???（高通） (3)除0或?以外的某一频率（带通）

解：只要找出对应于??0的数字频率即可。 由s?z?1s?1，以z?ej?，s?j?代入该式得： ?z?z?1s?1j??1ej??

j??1因此，频率点的对应关系为

s平面 z平面 ??0 ??? ??? ??0

即将模拟低通中心频率??0映射到???处，所以是高通。

［16］设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2?rad时，允许幅度误差在1dB之内；频率在

0.3?到?之间的阻带衰减大于10dB。试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法

进行转换，采样间隔T?1ms。

解：(1) 根据题意，数字滤波器的性能指标为：

通带频率?p?0.2?rad，通带最小衰减?p?1dB。 阻带频率?s?0.3?rad，阻带最大衰减?s?10dB。

（2）模拟低通滤波器的性能指标为（采样周期T?1ms）

通带频率?p??p/T?200?rad/s，通带最小衰减?p?1dB。 阻带频率?p??p/T?300?rad/s，阻带最大衰减?s?10dB。

（3）用巴特沃斯滤波器设计法求模拟滤波器的系统函数

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先求滤波器的阶数N及3dB截止频率?c，巴特沃斯滤波器的阶数：

?100.1?p?1?N?lg?0.1?s?10?1??将性能指标代入可求得N?4.3758，取整数N?5。

根据阶数N?5，查表得到归一化系统函数为： Han(s)????2lg10?p?

??s?1 5432s?3.236s?5.236s?5.236s?3.236s?1我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，求得3dB截止频率?c。 ?c??s(100.1?s?1)?12N?300?(10?1)1?10?756.57(rad/s)

将s?s/?c代入Han(s)到中，得到实际的模拟滤波器的系统函数

Ha(s)?Han(s)s?s/?

c(4) 将Ha(s)展开成部分分式然后利用冲激响应不变法式得到H(z)

0.0062z?1?0.0404z?2?0.0248z?3?0.0014z?4 H(z)?1?2.6389z?1?3.1043z?2?1.9424z?3?0.6363z?4?0.0864z?5［17］要求同题16一样，试采用双线性变换法设计数字低通滤波器。

解：(1) 先做预畸变

模拟低通的技术指标为（采样周期T=1ms）

2tan(?p/2)?649.8394rad/s，通带最小衰减?p?1dB； T2阻带频率?s?tan(?s/2)?1019.1rad/s，阻带最大衰减?s?10dB。

T通带频率?p?（2）用巴特沃斯滤波器设计法求模拟滤波器的系统函数

先求滤波器的阶数N及3dB截止频率?c，巴特沃斯滤波器的阶数：

?100.1?p?1?N?log10?0.1?s?10?1??将性能指标代入可求得N?4。

根据阶数N?4，查表得到归一化传输函数为：

???2log10?p?

??s?Han(s)?1

s4?2.6131s3?3.4142s2?2.6131s?1 （3）去归一化，求出Ha(s)

我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，求得3dB截止频率?c。

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?c??p(100.1?p?1)?12N?649.8?(10?1)?774.311(rad/s)

?18Ha(s)?Han(s)s?s/?c4?c ?4224s?2.6131?cs3?3.4142?cs?2.6131?3s??cc（4）利用双线性变换法得到

0.0083?0.0333z?1?0.05z?2?0.0333z?3?0.0083z?4 H(z)??1?2?3?41?2.0872z?1.8948z?0.8119z?0.1375z［18］设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率?p?0.8?rad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率?s?0.5?rad，阻带衰减不小于18dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。

解：（1）数字高通滤波器的性能指标如下

?p?3dB， ?p?0.8?rad ?s?18dB， ?s?0.5?rad

（2）模拟高通滤波器的性能指标如下： 令T?1，则有

?p?22tan(?p/2)?6.155rad/s，?s?tan(?s/2)?2rad/s TT?p?s（3）归一化模拟低通滤波器的技术指标如下：

?p?1，?s?（4）设计归一化模拟低通滤波器Han(s) 模拟滤波器的阶数N计算如下：

?3.07

lg[(100.1?P?1)/(100.1?s?1)]lg[(100.3?1)/(101.8?1)]N???1.8425

2lg(?p/?s)2lg(1/3.07)取N?2，查表得归一化的模拟低通传递函数Han(s)：

Han(s)? （5）去归一化，将s?1s?2s?12

?c?p?带入上式得到实际高通滤波器的系统函数Ha(s) ssHa(s)?Ha(s)s??css2s2 ?2?22s?2?cs??cs?8.7045s?37.8716（6）用双线性变换将模拟高通滤波器Ha(s)转换成数字高通H(z)

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H(z)?Ha(s)s?21?z?11?z?10.0675?0.135z?1?0.0675z?2? ?1?21?1.1428z?0.4127z［19］设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.25?rad到0.45?rad，通带内最大衰减为3dB，

0.15?rad以下和0.55?rad以上为阻带，阻带内最小衰减为15dB，采用巴特沃斯模拟低通滤波器。

解：（1）确定数字带通滤波器的性能指标：

?p1?0.25?， ?p2?0.45?，?p?3dB ?s1?0.15?，?s2?0.55?，?s?15dB

（2）将数字滤波器的性能指标转换为模拟滤波器的性能指标。设T?1

?p1?2tan?p12，?p2?2tan，?s1?2tan?p22，?p?3dB

?s1?2tan?s12?s12，?s?15dB

?0??p1?p2，B??p2??p1

（3）利用频率变换关系，求出归一化原型低通滤波器的性能指标 对应于带通滤波器，归一化原型低通滤波器的相应通带频率分别为：

2?2??0?p1??B????p1?p1??p1?p2?p1(?p2??p1)2??1

?p22?2??0??B????p2?p2??p1?p2?p2(?p2??p1)2?1

因此，取归一化原型低通滤波器的通带频率?p为1，通带处最但衰减为3dB。 同理可得归一化原型低通滤波器的阻带频率分别为：

?s1?????B220???s1??2s1??p1?p2tan2?tan?s12?tan?p12tan?p1?p122)

?s1(?p2??p1)?s122tan2(0.15π/2)-tan(0.25π/2)tan(0.45π/2)???2.8042tan(0.15π/2)(tan(0.45π/2)?tan(0.25π/2))2?2??0?s2??B(tan?p2?tan?1.9749

???s2因此，取归一化原型低通滤波器的阻带频率?s?min(?s1,?s2)?1.9749，这是因为取较小的频率值，则较大的频率处一定满足衰减要求，阻带处最小衰减为15dB。

（4）利用巴特沃斯低通滤波器设计归一化原型低通滤波器H(s)。求得巴特沃斯低通滤波器阶数N，即：

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lg[(100.3?1)/(101.5?1)]N??2.5176

2lg(1/1.9749)因此，取N?3，截止频率(在3dB处)?c就是通带频率的值，即?c??p?1。查表可得N?3的归一化巴特沃斯原型低通的滤波器的系统函数HLP(s)：

HLP(s)??1s?2s?2s?132

（5）由归一化原型低通滤波器变换到实际模拟带通滤波器。将平面变换关系代入上式得到实际模拟带通滤波器的系统函数

HBP(s)?HLP(s)s?s2??02?sB1?s????s???s???2?2?1????sBsBsB????22032202220

（6）实际模拟带通滤波器的数字化。利用双线性变换式代入HBP(s)得数字滤波器的系统函数，即：

H(z)?HBR(s)s?c1?z?11?z?10.0181?0.0543z?2?0.0543z?4?0.0181z?6?1?2.2722z?1?3.5153z?2?3.2688z?3?2.3131z?4?0.9629z?5?0.2781z?6［20］如图6P-2所示的系统。

(1) 写出该系统的系统函数H(z)，画出系统的幅频特性，并问这一系统是哪一种通带滤波器？ (2) 在上述系统中，用下列差分方程表示的网络代替它的z?1延时单元

y(n)?x(n?2)??[x(n?1)?y(n?1)]

试问变换后的数字网络是那一种通带滤波器。?是常数。 解：（1）根据系统结构图可得系统的传递函数为：

1?z?1H1(z)?

1?0.85z?1系统的频率特性如图1所示，由图可知，该系统是一个高通滤波器。

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